19В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \({\log _3}\left( {{9^x} + 9a} \right) = x\) имеет два различных корня.
\({\log _3}\left( {{9^x} + 9a} \right) = x\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,{9^x} + 9a = {3^x}.\) Пусть \({3^x} = t,\;\;\;\;t > 0.\) Тогда полученное уравнение примет вид: \({t^2} + 9a = t\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,{t^2}-t + 9a = 0.\) Исходное уравнение будет иметь два различных корня, если уравнение \({t^2}-t + 9a = 0\) будет иметь два различных корня больше нуля (см. рис.), что возможно при выполнении следующих условий: \(\left\{ \begin{array}{l}D > 0,\\{t_{\rm{B}}} > 0,\\f\left( 0 \right) > 0\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ \begin{array}{l}1-36a > 0,\\\frac{1}{2} > 0,\\9a > 0\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a < \frac{1}{{36}},}\\{a \in R,\;\;}\end{array}}\\{a > 0\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a \in \left( {0;\frac{1}{{36}}} \right).\) Ответ: \(\left( {0;\frac{1}{{36}}} \right).\)
Введём функцию \(f\left( t \right) = {t^2}-t + 9a,\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх.