Профиль №18. Задачи, сводящиеся к исследованию квадратного трехчлена. Задача 2Вmath100admin44242024-03-28T17:45:21+03:00
2В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство \(a\log _5^2x-\left( {a + 3} \right){\log _5}x + 3 \le 0\) имеет единственное решение.
Решение
Пусть \({\log _5}x = t,\;\;\;\;t \in R.\) Тогда неравенство примет вид:
\(a{t^2}-\left( {a + 3} \right)t + 3 \le 0.\)
Если полученное неравенство имеет единственное решение, то и исходное неравенство будет иметь одно решение.
Неравенство \(a{t^2}-\left( {a + 3} \right)t + 3 \le 0\) будет иметь единственное решение, если:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0,}\\{D = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{a^2}-6a + 9 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0,\;\;\;\;\;\;\;\,\;}\\{{{\left( {a-3} \right)}^2} = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a = 3.\)
Ответ: \(3.\)