2В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство  \(a\log _5^2x-\left( {a + 3} \right){\log _5}x + 3 \le 0\)  имеет единственное решение.

Ответ

ОТВЕТ:  \(3.\)

Решение

Пусть  \({\log _5}x = t,\;\;\;\;t \in R.\)  Тогда неравенство примет вид:

\(a{t^2}-\left( {a + 3} \right)t + 3 \le 0.\)

Если полученное неравенство имеет единственное решение, то и исходное неравенство будет иметь одно решение.

Неравенство  \(a{t^2}-\left( {a + 3} \right)t + 3 \le 0\)  будет иметь единственное решение, если:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0,}\\{D = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{a^2}-6a + 9 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0,\;\;\;\;\;\;\;\,\;}\\{{{\left( {a-3} \right)}^2} = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a = 3.\)

Ответ:  \(3.\)