20В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \({\log _2}\left( {{4^x}-a} \right) = x\) имеет два различных корня.
\({\log _2}\left( {{4^x}-a} \right) = x\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,{4^x}-a = {2^x}.\) Пусть \({2^x} = t,\;\;\;\;t > 0.\) Тогда полученное уравнение примет вид: \({t^2}-a = t\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;{t^2}-t-a = 0.\) Исходное уравнение будет иметь два различных корня, если уравнение \({t^2}-t-a = 0\) будет иметь два различных корня больше нуля (см. рис.), что возможно при выполнении следующих условий: \(\left\{ \begin{array}{l}D > 0,\\{t_{\rm{B}}} > 0,\\f\left( 0 \right) > 0\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ \begin{array}{l}1 + 4a > 0,\\\frac{1}{2} > 0,\\-a > 0\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a > -\frac{1}{4},}\\{a \in R,\,\;\;}\end{array}}\\{a < 0\;\,\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a \in \left( {-\frac{1}{4};0} \right).\) Ответ: \(\left( {-\frac{1}{4};0} \right).\)
Введём функцию \(f\left( t \right) = {t^2}-t-a,\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх.