Пусть \({6^x} = t,\;\;\;\;t > 0.\) Тогда уравнение примет вид:
\({t^2}-2\left( {a + 1} \right)t + {a^2} + 2a-8 = 0;\;\;\;\;D = 4{a^2} + 8a + 4-4{a^2}-8a + 32 = 36;\)
\({t_1} = \dfrac{{2a + 2 + 6}}{2} = a + 4;\;\;\;\;{t_2} = \dfrac{{2a + 2-6}}{2} = a-2.\)
Заметим, что \({t_1} > {t_2}\) при \(a \in R,\) поэтому исходное уравнение будет иметь один корень, если:
\(\left\{ \begin{array}{l}{t_1} > 0,\\{t_2} \le 0\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ \begin{array}{l}a + 4 > 0,\\a-2 \le 0\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ \begin{array}{l}a > -4,\\a \le 2\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a \in \left( {-4;2} \right].\)
Ответ: \(\left( {-4;2} \right]\).