22В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \({9^x}-2\left( {2a + 1} \right) \cdot {3^x} + {a^2} + 4a-12 = 0\) имеет единственный корень.
Пусть \({3^x} = t,\;\;\;\;t > 0.\) Тогда уравнение примет вид: \({t^2}-2\left( {2a + 1} \right)t + {a^2} + 4a-12 = 0.\) Введём функцию \(f\left( t \right) = {t^2}-2\left( {2a + 1} \right)t + {a^2} + 4a-12,\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх. Исходное уравнение будет иметь единственный корень, если уравнение \({t^2}-2\left( {2a + 1} \right)t + {a^2} + 4a-12 = 0\) будет иметь один корень \(t > 0,\) а другой \(t \le 0,\) что возможно в следующих случаях. Рассмотрим первый случай: \(\left\{ \begin{array}{l}{t_1} > 0,\\{t_2} = 0.\end{array} \right.\) Если \({t_2} = 0\), то \({a^2} + 4a-12 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2,\;\;}\\{a = -6.}\end{array}} \right.\) Если \(a = 2\), то \({t^2}-10t = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0,\;\,}\\{t = 10.}\end{array}} \right.\) Значит, \(a = 2\) подходит. Если \(a = -6\), то \({t^2} + 22t = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0,\;\;\;\,}\\{t = -22.}\end{array}} \right.\) Рассмотрим второй случай (см. рис.): \(\left\{ \begin{array}{l}{t_1} < 0,\\{t_2} > 0.\end{array} \right.\) Для этого достаточно выполнения условия: \(f\left( 0 \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,{a^2} + 4a-12 < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a \in \left( {-6;2} \right).\) Таким образом, при \(a \in \left( {-6;2} \right]\) исходное уравнение будет иметь единственный корень. Ответ: \(\left( {-6;2} \right]\).
Значит, \(a = -6\) не подходит