23В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \(2{x^4} + \left( {a-2} \right){x^3} + 2{x^2} + \left( {a-2} \right)x + 2 = 0\) имеет не менее двух различных отрицательных корней.
Исходное равнение является возвратным. Так как \(x = 0\) не является его решением, то поделим обе части уравнения на \({x^2}:\) \(2{x^2} + \left( {a-2} \right)x + 2 + \left( {a-2} \right) \cdot \frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,2\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + \left( {a-2} \right)\left( {x + \frac{1}{x}} \right) + 2 = 0.\) Пусть \(x + \frac{1}{x} = t.\) Тогда: \({\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} = {t^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {t^2}-2.\) Уравнение примет вид: \(2\left( {{t^2}-2} \right) + \left( {a-2} \right)t + 2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,2{t^2} + \left( {a-2} \right)t-2 = 0.\) Введём функцию \(f\left( t \right) = 2{t^2} + \left( {a-2} \right)t-2 = 0,\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх. Уравнение \(x + \frac{1}{x} = t\) имеет решение, если \(t \le -2\) или \(t \ge 2.\) При этом при \(t \le -2\) корни отрицательные, а при \(t \ge 2\) положительные. \(f\left( {-2} \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,8-2a + 4-2 < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,10-2a < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a \in \left( {5;\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {5;\infty } \right).\)
Так как у уравнения \(2{t^2} + \left( {a-2} \right)t-2 = 0\) коэффициенты \(a = 2,\;\;\;\;c = -2,\) то по теореме Виета оно имеет два корня разных знаков. Поэтому исходное уравнение будет иметь не менее двух различных отрицательных корней (см. рис.) при выполнении следующего условия: