24В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \(2{x^4}-\left( {5a + 2} \right){x^3} + 2{x^2}-\left( {5a + 2} \right)x + 2 = 0\) имеет не менее двух различных положительных корней.
Исходное равнение является возвратным. Так как \(x = 0\) не является его решением, то поделим обе части уравнения на \({x^2}:\) \(2{x^2}-\left( {5a + 2} \right)x + 2-\left( {5a + 2} \right) \cdot \frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,2\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)-\left( {5a + 2} \right)\left( {x + \frac{1}{x}} \right) + 2 = 0.\) Пусть \(x + \frac{1}{x} = t.\) Тогда: \({\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} = {t^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {t^2}-2.\) Уравнение примет вид: \(2\left( {{t^2}-2} \right)-\left( {5a + 2} \right)t + 2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,2{t^2}-\left( {5a + 2} \right)t-2 = 0.\) Введём функцию \(f\left( t \right) = 2{t^2}-\left( {5a + 2} \right)t-2,\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх. Так как у уравнения \(2{t^2}-\left( {5a + 2} \right)t-2 = 0\) коэффициенты \(a = 2\), \(c = -2\), то по теореме Виета оно имеет два корня разных знаков. Поэтому исходное уравнение будет иметь не менее двух различных положительных корней (см. рис.) при выполнении следующего условия: \(f\left( 2 \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,8-10a-4-2 < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,2-10a < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a \in \left( {\frac{1}{5};\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {\frac{1}{5};\infty } \right)\).
Уравнение \(x + \frac{1}{x} = t\) имеет решение, если \(t \le -2\) или \(t \ge 2.\) При этом при \(t \le -2\) корни отрицательные, а при \(t \ge 2\) положительные.