26В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \(x\left( {x-1} \right)\left( {x-2} \right)\left( {x-3} \right) = -a\) имеет не менее трех различных положительных корней.
\(x\left( {x-1} \right)\left( {x-2} \right)\left( {x-3} \right) = -a\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,x\left( {x-3} \right)\left( {x-1} \right)\left( {x-2} \right) = -a\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left( {{x^2}-3x} \right)\left( {{x^2}-3x + 2} \right) = -a.\) Пусть \({x^2}-3x = t.\) Тогда полученное уравнение примет вид: \(t\left( {t + 2} \right) = -a\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,{t^2} + 2t + a = 0.\) Из графика видно, что если \(t = -\frac{9}{4},\) то уравнение \({x^2}-3x = t\) имеет один корень \(x = \frac{3}{2} > 0\); если \(t \in \left( {-\frac{9}{4};0} \right),\) то оно будет иметь два положительных корня; если \(t \in \left[ {0;\infty } \right),\) то оно будет иметь два корня, один из которых больше нуля, а другой неположительный. Введём функцию \(f\left( t \right) = {t^2} + 2t + a = 0,\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх, вершина которой \({t_{\rm{B}}} = -\frac{2}{2} = -1.\) \(\left\{ \begin{array}{l}D > 0,\\f\left( {-\frac{9}{4}} \right) > 0\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ \begin{array}{l}4-4a > 0,\\\frac{{81}}{{16}}-\frac{9}{2} + a > 0\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 1,\;\;\;\;\,}\\{a > -\frac{9}{{16}}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a \in \left( {-\frac{9}{{16}};\,1} \right).\) Осталось проверить вариант, когда \({t_1} = -\frac{9}{4}\) и \(-\frac{9}{4} < {t_2} < 0:\) \({\left( {-\frac{9}{4}} \right)^2} + 2 \cdot \left( {-\frac{9}{4}} \right) + a = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a = -\frac{9}{{16}}.\) При \(a = -\frac{9}{{16}}\) получим: \({t^2} + 2t-\frac{9}{{16}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = -\frac{9}{4},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{t = \frac{1}{4} \notin \left( {-\frac{9}{4};0} \right).}\end{array}} \right.\) Следовательно, \(a = -\frac{9}{{16}}\) не подходит. Таким образом, при \(a \in \left( {-\frac{9}{{16}};\,1} \right)\) исходное уравнение будет иметь не менее трех различных положительных корней Ответ: \(\left( {-\frac{9}{{16}};\,1} \right).\)
Графиком функции \(t = {x^2}-3x\) является парабола, ветви которой направлены вверх, \({x_{\rm{B}}} = \frac{3}{2},\;\;\;\;t\left( {\frac{3}{2}} \right) = -\frac{9}{4}\) (см. рис. 1).
Чтобы исходное уравнение имело не менее трех различных положительных корней, необходимо, чтобы меньший корень уравнения \({t^2} + 2t + a = 0\) принадлежал интервалу \(\left( {-\frac{9}{4};-1} \right),\) что выполнится при следующих условиях (см. рис. 2):