27В (ЕГЭ 2014). Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \({\left( {{{\log }_6}\left( {x + a} \right)-{{\log }_6}\left( {x-a} \right)} \right)^2}-4a\left( {{{\log }_6}\left( {x + a} \right)-{{\log }_6}\left( {x-a} \right)} \right) + 3{a^2} + 4a-4 = 0\) имеет ровно два решения.
ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;\,-2} \right) \cup \left( {\dfrac{2}{3};\,2} \right) \cup \left( {\,2;\,\infty } \right).\)
Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + a > 0,}\\{x-a > 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > -a,}\\{x > a.\;\;}\end{array}} \right.\) Пусть \({\log _6}\left( {x + a} \right)-{\log _6}\left( {x-a} \right) = t.\) Тогда исходное уравнение примет вид: \({t^2}-4at + 3{a^2} + 4a-4 = 0;\;\;\;\;\;D = 16{a^2}-12{a^2}-16a + 16\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,D = {\left( {2a-4} \right)^2}.\) Если \(2a-4 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a = 2,\) то: \({t^2}-8t + 16 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,{\left( {t-4} \right)^2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,t = 4.\) Подставим \(a = 2\) и \(t = 4\) в уравнение \({\log _6}\left( {x + a} \right)-{\log _6}\left( {x-a} \right) = t.\) Тогда: \({\log _6}\left( {x + 2} \right)-{\log _6}\left( {x-2} \right) = 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,{\log _6}\left( {x + 2} \right) = {\log _6}\left( {x-2} \right) + {\log _6}{6^4}\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left( {x + 2} \right) = {6^4}\left( {x-2} \right).\) Полученное уравнение является линейным, значит оно не может иметь два решения. Поэтому \(a = 2\) не подходит. Если \(a \ne 2,\) то: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \dfrac{{4a + 2a-4}}{2},}\\{t = \dfrac{{4a-2a + 4}}{2}\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 3a-2,}\\{t = a + 2.\,\;}\end{array}} \right.\) Следовательно: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_6}\left( {x + a} \right)-{{\log }_6}\left( {x-a} \right) = 3a-2,}\\{{{\log }_6}\left( {x + a} \right)-{{\log }_6}\left( {x-a} \right) = a + 2\,\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_6}\left( {x + a} \right) = {{\log }_6}\left( {{6^{3a-2}} \cdot \left( {x-a} \right)} \right),}\\{{{\log }_6}\left( {x + a} \right) = {{\log }_6}\left( {{6^{a + 2}} \cdot \left( {x-a} \right)} \right)\,\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + a = {6^{3a-2}} \cdot \left( {x-a} \right),}\\{x + a = {6^{a + 2}} \cdot \left( {x-a} \right)\,\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{{a\left( {{6^{3a-2}} + 1} \right)}}{{{6^{3a-2}}-1}},}\\{x = \dfrac{{a\left( {{6^{a + 2}} + 1} \right)}}{{{6^{a + 2}}-1}}.\;}\end{array}} \right.\) Пусть \(a > 0\) и \(a \ne 2.\) Тогда ОДЗ примет вид: \(x > a.\) Исходное уравнение будет иметь два решения, если: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0,\;\;\;\;a \ne 2,\;\;\;}\\{\dfrac{{a\left( {{6^{3a-2}} + 1} \right)}}{{{6^{3a-2}}-1}} > a,}\end{array}}\\{\dfrac{{a\left( {{6^{a + 2}} + 1} \right)}}{{{6^{a + 2}}-1}} > a\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0,\;\;\;\;a \ne 2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\dfrac{{a\left( {{6^{3a-2}} + 1-{6^{3a-2}} + 1} \right)}}{{{6^{3a-2}}-1}} > 0\,\,\left| {:a > 0} \right.,}\end{array}}\\{\dfrac{{a\left( {{6^{a + 2}} + 1-{6^{a + 2}} + 1} \right)}}{{{6^{a + 2}}-1}} > 0\left| {:a > 0} \right.\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0,\;\;\;\;a \ne 2,\;\;\;}\\{\dfrac{2}{{{6^{3a-2}}-1}} > 0,\;\;\;\;\;}\end{array}}\\{\dfrac{2}{{{6^{a + 2}}-1}} > 0\;\;\;\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0,\;\;\;\;a \ne 2,}\\{{6^{3a-2}}-1 > 0,\;\;}\end{array}}\\{{6^{a + 2}}-1 > 0\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0,\;\;\;\;a \ne 2,}\\{3a-2 > 0,\;\;\;\;\;}\\{a + 2 > 0\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0,\;\;\;\;a \ne 2,}\\{a > \dfrac{2}{3},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{a > -2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a \in \left( {\dfrac{2}{3};2} \right) \cup \left( {2;\infty } \right).\) Пусть \(a < 0.\) Тогда ОДЗ примет вид: \(x > -a.\) Исходное уравнение будет иметь два решения, если: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;}\\{\dfrac{{a\left( {{6^{3a-2}} + 1} \right)}}{{{6^{3a-2}}-1}} > -a,}\end{array}}\\{\dfrac{{a\left( {{6^{a + 2}} + 1} \right)}}{{{6^{a + 2}}-1}} > -a\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\dfrac{{a\left( {{6^{3a-2}} + 1 + {6^{3a-2}}-1} \right)}}{{{6^{3a-2}}-1}} > 0\left| {:a < 0} \right.,}\end{array}}\\{\dfrac{{a\left( {{6^{a + 2}} + 1 + {6^{a + 2}}-1} \right)}}{{{6^{a + 2}}-1}} > 0\left| {:a < 0} \right.\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\dfrac{{2 \cdot {6^{3a-2}}}}{{{6^{3a-2}}-1}} < 0,}\end{array}}\\{\dfrac{{2 \cdot {6^{a + 2}}}}{{{6^{a + 2}}-1}} < 0\;\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;}\\{{6^{3a-2}}-1 < 0,}\end{array}}\\{{6^{a + 2}}-1 < 0\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0,\;\;\;\;\;\;\;}\\{3a-2 < 0,}\\{a + 2 < 0\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0,}\\{a < \dfrac{2}{3},}\\{a < -2}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a \in \left( {-\infty ;-2} \right).\) Пусть \(a = 0.\) Тогда исходное уравнение примет вид: \(-4 = 0,\) то есть \(a = 0\) не подходит. Таким образом, при \(a \in \left( {-\infty ;\,-2} \right) \cup \left( {\dfrac{2}{3};\,2} \right) \cup \left( {\,2;\,\infty } \right)\) исходное уравнение будет иметь ровно два решения. Ответ: \(\left( {-\infty ;\,-2} \right) \cup \left( {\dfrac{2}{3};\,2} \right) \cup \left( {\,2;\,\infty } \right).\)