28В (ЕГЭ 2014). Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \({\left( {\left( {a-2} \right){x^2} + 6x} \right)^2}-4\left( {\left( {a-2} \right){x^2} + 6x} \right) + 4-{a^2} = 0\) имеет ровно два решения.
ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;\,-1} \right) \cup \left\{ {\,0;\,2} \right\} \cup \left( {5;\infty } \right).\)
Если \(a = 2,\) то \(36{x^2}-24x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,x\left( {36x-24} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0,\,}\\{x = \frac{2}{3}.}\end{array}} \right.\) Значит, \(a = 2\) подходит. Если \(a \ne 2,\) то пусть \(\left( {a-2} \right){x^2} + 6x = t.\) Тогда исходное уравнение примет вид: \({t^2}-4t + 4-{a^2} = 0;\;\;\;\;D = 16-16 + 4{a^2} = 4{a^2};\;\;\;\;{t_1} = 2 + a;\;\;\;\;{t_2} = 2-a.\) Если \(a = 0,\) то \(t = 2.\) Тогда уравнение \(\left( {a-2} \right){x^2} + 6x = t\) примет вид: \(-2{x^2} + 6x = 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,{x^2}-3x + 1 = 0;\;\;\;\;D = 9-4 = \sqrt 5 ;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2},}\\{x = \frac{{3-\sqrt 5 }}{2}.}\end{array}} \right.\) Значит, \(a = 0\) подходит. Если \(a \ne 0,\) то \({t_1} = 2 + a;\;\;\;\;{t_2} = 2-a\) и уравнение \(\left( {a-2} \right){x^2} + 6x = t\) будет равносильно следующей совокупности: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {a-2} \right){x^2} + 6x-2-a = 0,}\\{\left( {a-2} \right){x^2} + 6x + a-2 = 0.}\end{array}} \right.\) Если рассматривать первое уравнение полученной совокупности, то \({D_1} = 36 + 4\left( {a-2} \right)\left( {a + 2} \right) = 4{a^2} + 20;\,\,\,\,\,\;\,4{a^2} + 20 > 0\) при \(a > 0.\) Следовательно, первое уравнение имеет два корня. Если рассматривать второе уравнение полученной совокупности, то \({D_2} = 36-4{\left( {a-2} \right)^2}.\) Исходное уравнение будет иметь два корня, если: \({D_2} < 0:\;\;\;\;36-4{\left( {a-2} \right)^2} < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left( {6 + 2a-4} \right)\left( {6-2a + 4} \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a \in \left( {-\infty ;-1} \right) \cup \left( {5;\infty } \right).\) Таким образом, при \(a \in \left( {-\infty ;\,-1} \right) \cup \left\{ {\,0;\,2} \right\} \cup \left( {5;\infty } \right)\) исходное уравнение будет иметь ровно два решения. Ответ: \(\left( {-\infty ;\,-1} \right) \cup \left\{ {\,0;\,2} \right\} \cup \left( {5;\infty } \right).\)