29В (ЕГЭ 2014). Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \({\left( {x + \frac{1}{{x-a}}} \right)^2}-\left( {a + 9} \right)\left( {x + \frac{1}{{x-a}}} \right) + 2a\left( {9-a} \right) = 0\)  имеет ровно четыре решения.

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;\,-2} \right) \cup \left( {\,2;\,3} \right) \cup \left( {\,3;\,\frac{7}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{11}}{2};\,\infty } \right).\)

Решение

Пусть  \(x + \frac{1}{{x-a}} = t.\)  Тогда исходное уравнение примет вид:

\({t^2}-\left( {a + 9} \right)t + 2a\left( {9-a} \right) = 0;\;\;\;\;D = {a^2} + 18a + 81-72a + 8{a^2} = 9{\left( {a-3} \right)^2};\)

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{{a + 9 + 3a-9}}{2},}\\{t = \frac{{a + 9-3a + 9}}{2}\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 2a,\;\,\;}\\{t = 9-a.}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + \frac{1}{{x-a}} = 2a,\;\;}\\{x + \frac{1}{{x-a}} = 9-a}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-3ax + 2{a^2} + 1 = 0,\;\,\,}\\{{x^2}-9x + 9a-{a^2} + 1 = 0}\end{array}} \right.}\\{x \ne a.\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\)

Проверкой убедимся, что  \(x = a\)  не является корнем уравнений последней совокупности.

Действительно:  \({a^2}-3{a^2} + 2{a^2} + 1 \ne 0;\;\;\;\;{a^2}-9a + 9a-{a^2} + 1 \ne 0.\)

Найдём дискриминант первого уравнения последней совокупности:   \({D_1} = {a^2}-4.\)

Найдём дискриминант второго уравнения последней совокупности:   \({D_2} = 4{a^2}-36a + 77.\)

Исходное уравнение имеет ровно четыре решения, если:

\(\left\{ \begin{array}{l}{D_1} > 0,\\{D_2} > 0,\\2a \ne 9-a\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ \begin{array}{l}{a^2}-4 > 0,\\4{a^2}-36a + 77 > 0,\\2a \ne 9-a\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ \begin{array}{l}a \in \left( {-\infty ;-2} \right) \cup \left( {2;\infty } \right),\\a \in \left( {-\infty ;\frac{7}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{11}}{2};\infty } \right),\\a \ne 3\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left( {-\infty ;\,-2} \right) \cup \left( {\,2;\,3} \right) \cup \left( {\,3;\,\frac{7}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{11}}{2};\,\infty } \right).\)

Ответ:  \(\left( {-\infty ;\,-2} \right) \cup \left( {\,2;\,3} \right) \cup \left( {\,3;\,\frac{7}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{11}}{2};\,\infty } \right).\)