3В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \({25^x}-2\left( {a + 1} \right) \cdot {5^x} + 9a-5 = 0\) имеет ровно один корень.
Пусть \({5^x} = t,\;\;\;\;t > 0.\) Тогда уравнение примет вид: \({t^2}-2\left( {a + 1} \right)t + 9a-5 = 0.\) Исходное уравнение будет иметь ровно один корень, если полученное уравнение имеет корни, один из которых больше нуля. Это возможно в следующих случаях. Рассмотрим первый случай: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{D = 0,}\\{t > 0.\;\,}\end{array}} \right.\) \(D = 4{a^2} + 8a + 4-36a + 20 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{a^2}-7a + 6 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1,}\\{a = 6.}\end{array}} \right.\) Если \(a = 1,\) то \({t^2}-4t + 4 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,{\left( {t-2} \right)^2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,t = 2 > 0,\) значит \(a = 1\) подходит. Если \(a = 6,\) то \({t^2}-14t + 49 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,{\left( {t-7} \right)^2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,t = 7 > 0,\) значит \(a = 6\) подходит. Рассмотрим второй случай: \({t_1} < 0,\,\,\,\,\,{t_2} > 0.\) \(f\left( 0 \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;9a-5 < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a < \frac{5}{9}.\) Рассмотрим третий случай: \({t_1} = 0,\;\;\;\;{t_2} > 0.\) Если \(t = 0,\) то \(9a-5 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a = \frac{5}{9}.\) Подставим \(a = \frac{5}{9}\) в уравнение \({t^2}-2\left( {a + 1} \right)t + 9a-5 = 0:\) \({t^2}-\frac{{28}}{9}t + 5-5 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;t\left( {t-\frac{{28}}{9}} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0,\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{t = \frac{{28}}{9} > 0.}\end{array}} \right.\) Значит, \(a = \frac{5}{9}\) подходит. Таким образом, при \(a \in \left( {-\infty ;\,\frac{5}{9}} \right] \cup \left\{ {\,1;\,\,6\,} \right\}\) уравнение будет иметь ровно один корень. Ответ: \(\left( {-\infty ;\,\frac{5}{9}} \right] \cup \left\{ {\,1;\,\,6\,} \right\}.\)
Введём функцию \(f\left( t \right) = {t^2}-2\left( {a + 1} \right)t + 9a-5,\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх (см. рис.). Для того, чтобы уравнение \({t^2}-2\left( {a + 1} \right)t + 9a-5 = 0\) имело корни разных знаков, достаточно выполнения условия: