Так как \({\sin ^2}x = 1-{\cos ^2}x\) и \({\cos ^2}\dfrac{x}{2} = \dfrac{{1 + \cos x}}{2},\) то исходное уравнение примет вид:
\(5-4\left( {1-{{\cos }^2}x} \right)-8 \cdot \dfrac{{1 + \cos x}}{2}-3a = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,5-4 + 4{\cos ^2}x-4-4\cos x-3a = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;4{\cos ^2}x-4\cos x-3a-3 = 0.\)
Пусть \(\cos x = t,\;\;\;\;t \in \left[ {-1;1} \right].\) Тогда полученное уравнение примет вид:
\(4{t^2}-4t-3a-3 = 0.\)
Введём функцию \(f\left( t \right) = 4{t^2}-4t-3a-3,\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх, \({t_{\rm{B}}} = \dfrac{1}{2} \in \left[ {-1;1} \right].\)
Для того чтобы исходное уравнение имело хотя бы один корень, необходимо выполнение следующих случаев.
Рассмотрим первый случай (см. рис. 1):
\(\left\{ \begin{array}{l}f\left( {-1} \right) \ge 0,\\f\left( 1 \right) \le 0\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ \begin{array}{l}5-3a \ge 0,\\-3a-3 \le 0\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \le \dfrac{5}{3},}\\{a \ge -1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a \in \left[ {-1;\dfrac{5}{3}} \right].\)
Рассмотрим второй случай (см. рис. 2):
\(\left\{ \begin{array}{l}D \ge 0,\\f\left( {-1} \right) \ge 0,\\f\left( 1 \right) \ge 0\end{array} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{16 + 16\left( {3a + 3} \right) \ge 0}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{5-3a \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{-3a-3 \ge 0\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \ge -\dfrac{4}{3},}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{a \le \dfrac{5}{3},\;\,\;}\\{a \le -1\;\,\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\;\,a \in \left[ {-\dfrac{4}{3};-1} \right].\)
Следовательно, при \(a \in \left[ {-\dfrac{4}{3};\dfrac{5}{3}} \right]\) исходное уравнение будет иметь хотя бы один корень.
Таким образом, \(-1;\,\,\,\,\,0;\,\,\,\,\,1\) – это целые значения, принадлежащие этому отрезку.
Ответ: \(-1;\,\,\,\,\,0;\,\,\,\,\,1.\)