31В. Найдите все целые значения параметра a, при каждом из которых уравнение \(5-4{\sin ^2}x-8{\cos ^2}\frac{x}{2} = 3a\) имеет хотя бы один корень.
Так как \({\sin ^2}x = 1-{\cos ^2}x\) и \({\cos ^2}\frac{x}{2} = \frac{{1 + \cos x}}{2},\) то исходное уравнение примет вид: \(5-4\left( {1-{{\cos }^2}x} \right)-8 \cdot \frac{{1 + \cos x}}{2}-3a = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,5-4 + 4{\cos ^2}x-4-4\cos x-3a = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;4{\cos ^2}x-4\cos x-3a-3 = 0.\) Пусть \(\cos x = t,\;\;\;\;t \in \left[ {-1;1} \right].\) Тогда полученное уравнение примет вид: \(4{t^2}-4t-3a-3 = 0.\) Введём функцию \(f\left( t \right) = 4{t^2}-4t-3a-3,\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх, \({t_{\rm{B}}} = \frac{1}{2} \in \left[ {-1;1} \right].\) Рассмотрим первый случай (см. рис. 1): \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( {-1} \right) \ge 0,\\f\left( 1 \right) \le 0\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ \begin{array}{l}5-3a \ge 0,\\-3a-3 \le 0\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \le \frac{5}{3},}\\{a \ge -1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a \in \left[ {-1;\frac{5}{3}} \right].\) \(\left\{ \begin{array}{l}D \ge 0,\\f\left( {-1} \right) \ge 0,\\f\left( 1 \right) \ge 0\end{array} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{16 + 16\left( {3a + 3} \right) \ge 0}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{5-3a \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{-3a-3 \ge 0\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \ge -\frac{4}{3},}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{a \le \frac{5}{3},\;\,\;}\\{a \le -1\;\,\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\;\,a \in \left[ {-\frac{4}{3};-1} \right].\) Следовательно, при \(a \in \left[ {-\frac{4}{3};\frac{5}{3}} \right]\) исходное уравнение будет иметь хотя бы один корень. Таким образом, \(-1;\,\,\,\,\,0;\,\,\,\,\,1\) – это целые значения, принадлежащие этому отрезку. Ответ: \(-1;\,\,\,\,\,0;\,\,\,\,\,1.\)
Для того чтобы исходное уравнение имело хотя бы один корень, необходимо выполнение следующих случаев.
Рассмотрим второй случай (см. рис. 2):