32В. Найдите все целые значения параметра a, при каждом из которых уравнение \(2-2\cos 2x = 3a + 4\sin x\) имеет хотя бы один корень.
Так как \(\cos 2x = 1-2{\sin ^2}x,\) то исходное уравнение примет вид: \(2-2 + 4{\sin ^2}x = 3a + 4\sin x.\) Пусть \(\sin x = t,\;\;\;\;t \in \left[ {-1;1} \right].\) Тогда полученное уравнение примет вид: \(4{t^2}-4t-3a = 0.\) Введём функцию \(f\left( t \right) = 4{t^2}-4t-3a,\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх, \({t_{\rm{B}}} = \frac{1}{2} \in \left[ {-1;1} \right].\) Рассмотрим первый случай (см. рис. 1): \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( {-1} \right) \ge 0,\\f\left( 1 \right) \le 0\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ \begin{array}{l}8-3a \ge 0,\\-3a \le 0\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \le \frac{8}{3},}\\{a \ge 0\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a \in \left[ {0;\frac{8}{3}} \right].\) \(\left\{ \begin{array}{l}D \ge 0,\\f\left( {-1} \right) \ge 0,\\f\left( 1 \right) \ge 0\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{16 + 48a \ge 0}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{8-3a \ge 0,\;\;\;}\\{-3a \ge 0\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \ge -\frac{1}{3},}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{a \le \frac{8}{3},\;\,\;}\\{a \le 0\;\,\;\,\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a \in \left[ {-\frac{1}{3};0} \right].\) Следовательно, при \(a \in \left[ {-\frac{1}{3};\frac{8}{3}} \right]\) исходное уравнение имеет хотя бы один корень. Таким образом, \(0;\,\,\,\,\,1;\,\,\,\,\,2\) – это целые значения, принадлежащие этому отрезку. Ответ: \(0;\,\,\,\,\,1;\,\,\,\,\,2.\)
Для того чтобы исходное уравнение имело хотя бы один корень, необходимо выполнение следующих случаев.
Рассмотрим второй случай (см. рис. 2):