33В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство \(a{\left( {{{\cos }^2}x-3} \right)^2} + 2a + 11{\sin ^2}x < 44\) выполняется для любого действительного значения x.
Так как \({\sin ^2}x = 1-{\cos ^2}x,\) то исходное неравенство примет вид: \(a{\left( {{{\cos }^2}x-3} \right)^2} + 2a + 11\left( {1-{{\cos }^2}x} \right) < 44\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a{\left( {{{\cos }^2}x-3} \right)^2} + 2a + 11\left( {-\left( {{{\cos }^2}x-3} \right)-2} \right)-44 < 0.\) Пусть \({\cos ^2}x-3 = t,\;\;\;\;\,t \in \left[ {-3;-2} \right].\) Тогда полученное неравенство примет вид: \(a{t^2} + 2a + 11\left( {-t-2} \right)-44 < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a{t^2}-11t + 2a-66 < 0.\) Введём функцию \(f\left( t \right) = a{t^2}-11t + 2a-66,\) которая является параболой, если \(a \ne 0.\) Чтобы исходное неравенство выполнялось для любого действительного значения x, необходимо, чтобы неравенство \(a{t^2}-11t + 2a-66 < 0\) выполнялось для любого \(t \in \left[ {-3;-2} \right].\) Рассмотрим следующие случаи. Первый случай. Если \(a = 0\), то последнее неравенство примет вид: \(-11t-66 < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\,\,t > -6.\) Второй случай. Если \(a > 0,\) то (см. рис.): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{f(-3) < 0,}\\{f(-2) < 0\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{f(-3) = 9a + 33 + 2a-66 < 0,}\\{f(-2) = 4a + 22 + 2a-66 < 0\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0,\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{a < 3,\;\;}\\{a < \frac{{22}}{3}}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a \in \left( {0;3} \right).\) При \(a < 0\) выражение \(a{t^2} + 2a-66 < -66,\) а слагаемое \(-11t\) при \(t \in \left[ {-3;-2} \right]\) принимает значения \(-11t \in \left[ {22;33} \right].\) Тогда \(f\left( t \right) = a{t^2}-11t + 2a-66 < -33,\) то есть \(f\left( t \right) < 0\) при \(a < 0\) и неравенство выполнится при любом \(t \in \left[ {-3;-2} \right].\) Поэтому \(a \in \left( {-\infty ;0} \right)\) подходит. Таким образом, при \(a \in \left( {-\infty ;3} \right)\) исходное неравенство выполняется для любого действительного значения x. Ответ: \(\left( {-\infty ;3} \right).\)
Значит, \(a = 0\) подходит.