34В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство \(a{\left( {si{n^2}x-3} \right)^2} + 2a + 88 > 22{\cos ^2}x\) выполняется для любого действительного значения x.
Так как \({\cos ^2}x = 1-{\sin ^2}x,\) то исходное неравенство примет вид: \(a{\left( {{{\sin }^2}x-3} \right)^2} + 2a + 88 > 22\left( {1-{{\sin }^2}x} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a{\left( {{{\sin }^2}x-3} \right)^2} + 2a-22\left( {-\left( {{{\sin }^2}x-3} \right)-2} \right) + 88 > 0.\) Пусть \({\sin ^2}x-3 = t,\;\;\;\;\,t \in \left[ {-3;-2} \right].\) Тогда полученное неравенство примет вид: \(a{t^2} + 2a + 22t + 44 + 88 > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a{t^2} + 22t + 2a + 132 > 0.\) Введём функцию \(f\left( t \right) = a{t^2} + 22t + 2a + 132,\) которая является параболой, если \(a \ne 0.\) Чтобы исходное неравенство выполнялось для любого действительного значения x, необходимо, чтобы неравенство \(a{t^2} + 22t + 2a + 132 > 0\) выполнялось для любого \(t \in \left[ {-3;-2} \right].\) Рассмотрим следующие случаи. Первый случай. Если \(a = 0\), то последнее неравенство примет вид: \(22t + 132 > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\,\,t > -6.\) Второй случай. Если \(a < 0,\) то (см. рис.): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{f(-3) > 0,}\\{f(-2) > 0\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{f(-3) = 9a-66 + 2a + 132 > 0,}\\{f(-2) = 4a-44 + 2a + 132 > 0\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0,\,\,\,\,\,\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{a > -6,\;\;}\\{a > -\frac{{44}}{3}}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a \in \left( {-6;0} \right).\) При \(a > 0\) выражение \(a{t^2} + 2a + 132 > 132,\) а слагаемое \(22t\) при любом \(t \in \left[ {-3;-2} \right]\) принимает значения \(22t \in \left[ {-66;-44} \right].\) Тогда \(f\left( t \right) = a{t^2} + 22t + 2a + 132 > 66,\) то есть \(f\left( t \right) > 0\) при \(a > 0\) и неравенство выполнится при любом \(t \in \left[ {-3;-2} \right].\) Поэтому \(a \in \left( {0;\infty } \right)\) подходит. Таким образом, при \(a \in \left( {-6;\,\infty } \right)\) исходное неравенство выполняется для любого действительного значения x. Ответ: \(\left( {-6;\,\infty } \right).\)
Значит, \(a = 0\) подходит.