Пусть \({5^x} = t,\;\;\;\;\,t > 0.\) Тогда исходное неравенство примет вид:
\(t-\dfrac{{a-5}}{t} + 2-a \le 0\;\left| {\, \cdot t} \right. > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,{t^2} + \left( {2-a} \right)t + 5-a \le 0.\)
Введём функцию \(f\left( t \right) = {t^2} + \left( {2-a} \right)t + 5-a,\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх.
Для того чтобы исходное неравенство имело хотя бы одно решение, необходимо, чтобы неравенство \({t^2} + \left( {2-a} \right)t + 5-a \le 0\) имело хотя бы одно положительное решение. Рассмотрим следующие случаи.
Первый случай (см. рис. 1):
\(f\left( 0 \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,5-a < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a > 5.\)
Второй случай (см. рис. 2):
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{D \ge 0,\;\;\;\,}\\{{t_{\rm{B}}} > 0,\;\;\;\;}\\{f\left( 0 \right) \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4-4a + {a^2}-20 + 4a \ge 0,}\\{-\dfrac{{2-a}}{2} > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{5-a \ge 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {a-4} \right)\left( {a + 4} \right) \ge 0,}\\{a > 2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{a \le 5\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \,\left( {-\infty ;-4} \right] \cup \left[ {4;\infty } \right),}\\{a \in \left( {2;\infty } \right),\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{a \in \,\left( {-\infty ;5} \right]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,a \in \left[ {4;5} \right].\)
Таким образом, при \(a \in \left[ {4;\infty } \right)\) исходное неравенство будет иметь хотя бы одно решение.
Ответ: \(\left[ {\,4;\,\infty } \right).\)