35В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство  \({5^x}-\left( {a-5} \right) \cdot {\left( {0,2} \right)^x} + 2 \le a\)  имеет хотя бы одно решение.

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ {\,4;\,\infty } \right).\)

Решение

Пусть  \({5^x} = t,\;\;\;\;\,t > 0.\)  Тогда исходное неравенство примет вид:

\(t-\frac{{a-5}}{t} + 2-a \le 0\;\left| {\, \cdot t} \right. > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,{t^2} + \left( {2-a} \right)t + 5-a \le 0.\)

Введём функцию  \(f\left( t \right) = {t^2} + \left( {2-a} \right)t + 5-a,\)  являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх.

Для того чтобы исходное неравенство имело хотя бы одно решение, необходимо, чтобы неравенство  \({t^2} + \left( {2-a} \right)t + 5-a \le 0\)  имело хотя бы одно положительное решение. Рассмотрим следующие случаи.

Первый случай (см. рис. 1):

\(f\left( 0 \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,5-a < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a > 5.\)

Второй случай (см. рис. 2):

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{D \ge 0,\;\;\;\,}\\{{t_{\rm{B}}} > 0,\;\;\;\;}\\{f\left( 0 \right) \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4-4a + {a^2}-20 + 4a \ge 0,}\\{-\frac{{2-a}}{2} > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{5-a \ge 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {a-4} \right)\left( {a + 4} \right) \ge 0,}\\{a > 2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{a \le 5\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \,\left( {-\infty ;-4} \right] \cup \left[ {4;\infty } \right),}\\{a \in \left( {2;\infty } \right),\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{a \in \,\left( {-\infty ;5} \right]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,a \in \left[ {4;5} \right].\)

Таким образом, при  \(a \in \left[ {4;\infty } \right)\)  исходное неравенство будет иметь хотя бы одно решение.

Ответ:  \(\left[ {\,4;\,\infty } \right).\)