Пусть \({4^x} = t,\;\;\;\;\,t > 0.\) Тогда исходное неравенство примет вид:
\(t-\dfrac{{\left( {a + 2} \right)}}{t} \le a + 5\;\left| {\, \cdot t > 0} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;{t^2}-\left( {a + 5} \right)t-\left( {a + 2} \right) \le 0.\)
Введём функцию \(f\left( t \right) = {t^2}-\left( {a + 5} \right)t-\left( {a + 2} \right),\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх.
Для того чтобы исходное неравенство имело хотя бы одно решение, необходимо, чтобы неравенство \({t^2}-\left( {a + 5} \right)t-\left( {a + 2} \right) \le 0\) имело хотя бы одно положительное решение. Рассмотрим следующие случаи.
Первый случай (см. рис. 1):
\(f\left( 0 \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,-a-2 < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a > -2.\)
Второй случай (см. рис. 2):
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{D \ge 0,\;\;\;\,}\\{{t_{\rm{B}}} > 0,\;\;\;\;}\\{f\left( 0 \right) \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} + 10a + 25 + 4a + 8 \ge 0,}\\{\dfrac{{a + 5}}{2} > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;}\\{-a-2 \ge 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {a + 11} \right)\left( {a + 3} \right) \ge 0,}\\{a > -5,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{a \le -2\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \,\left( {-\infty ;-11} \right] \cup \left[ {-3;\infty } \right),}\\{a \in \left( {-5;\infty } \right),\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{a \in \,\left( {-\infty ;-2} \right]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,a \in \left[ {-3;-2} \right].\)
Таким образом, при \(a \in \left[ {\,-3;\,\infty } \right)\) исходное неравенство будет иметь хотя бы одно решение.
Ответ: \(\left[ {\,-3;\,\infty } \right).\)