37В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство \(1 + {\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right) \ge {\log _5}\left( {a\,{x^2} + 4x + a} \right)\) выполняется для любого значения x.
ОТВЕТ: \(\left( {\,2;\,3} \right].\)
\(1 + {\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right) \ge {\log _5}\left( {a\,{x^2} + 4x + a} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,{\log _5}\left( {5{x^2} + 5} \right) \ge {\log _5}\left( {a{x^2} + 4x + a} \right).\) Так как \(5 > 1\), то полученное неравенство равносильно системе: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5{x^2} + 5 \ge a{x^2} + 4x + a,}\\{a{x^2} + 4x + a > 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {5-a} \right){x^2}-4x + 5-a \ge 0,}\\{a{x^2} + 4x + a > 0.\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\) Чтобы исходное неравенство выполнялось для любого значения x, необходимо, чтобы оба неравенства последней системы имели решение \(x \in R.\) Первое неравенство выполнится при \(x \in R,\) если выполнятся следующие условия: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5-a > 0,}\\{D \le 0\;\,\;\;\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 5,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{16-4{{\left( {5-a} \right)}^2} \le 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 5,\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{{\left( {a-5} \right)}^2} \ge 4}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 5,\;\;\,\;\;\;\;\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a-5 \le -2,}\\{a-5 \ge 2\;\;\;}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 5,\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \le 3,}\\{a \ge 7\;}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a \in \left( {-\infty ;3} \right].\) Второе неравенство выполнится при \(x \in R,\) если выполнятся следующие условия: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0,\,}\\{D < 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{16-4{a^2} < 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0,\;\;\;\;\;\,}\\{{a^2}-4 > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\,}\\{a \in \left( {-\infty ;-2} \right) \cup \left( {2;\infty } \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a \in \left( {2;\infty } \right).\) Следовательно, исходное неравенство выполнится при любом x, если: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {-\infty ;3} \right],}\\{a \in \left( {2;\infty } \right)\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a \in \left( {\,2;\,3} \right].\) Ответ: \(\left( {\,2;\,3} \right].\)