38В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство \({\log _{0,2}}\left( {4{x^2} + 1} \right) \le 2 + {\log _{0,2}}\left( {4a\,{x^2}-40x + a} \right)\) выполняется для любого значения x.
ОТВЕТ: \(\left( {\,10;\,15} \right].\)
\({\log _{0,2}}\left( {4{x^2} + 1} \right) \le 2 + {\log _{0,2}}\left( {4a\,{x^2}-40x + a} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\;{\log _{0,2}}\left( {\left( {4{x^2} + 1} \right) \cdot 25} \right) \le {\log _{0,2}}\left( {4a{x^2}-40x + a} \right).\) Так как \(0,2 < 1\) , то полученное неравенство равносильно системе: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{100{x^2} + 25 \ge 4a{x^2}-40x + a,}\\{4a{x^2}-40x + a > 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {100-4a} \right){x^2} + 40x + 25-a \ge 0,}\\{4a{x^2}-40x + a > 0.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\) Чтобы исходное неравенство выполнялось для любого значения x, необходимо, чтобы оба неравенства последней системы имели решение \(x \in R.\) Первое неравенство выполнится при \(x \in R,\) если выполнятся следующие условия: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{100-4a > 0,}\\{D \le 0\;\,\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 25,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;}\\{1600-16{{\left( {25-a} \right)}^2} \le 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 25,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{{\left( {a-25} \right)}^2} \ge 100}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 25,\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a-25 \le -10,}\\{a-25 \ge 10\;\;\;}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 25,\,\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \le 15,}\\{a \ge 35\;}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a \in \left( {-\infty ;15} \right].\) Второе неравенство выполнится при \(x \in R,\) если выполнятся следующие условия: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0,\,}\\{D < 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{1600-16{a^2} < 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,}\\{{a^2}-100 > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,\;\,}\\{a \in \left( {-\infty ;-10} \right) \cup \left( {10;\infty } \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a \in \left( {10;\infty } \right).\) Следовательно, исходное неравенство выполнится при любом x, если: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {-\infty ;15} \right],}\\{a \in \left( {10;\infty } \right)\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a \in \left( {\,10;\,15} \right].\) Ответ: \(\left( {\,10;\,15} \right].\)