39В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2y + 3z = {x^2} + 16{y^2},}\\{x + 4y + 9z = a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\) имеет единственное решение.
Ответ
ОТВЕТ: \(-\frac{{17}}{{48}}.\)
Решение
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2y + 3z = {x^2} + 16{y^2},}\\{x + 4y + 9z = a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 16{y^2} = x + 2y + \frac{a}{3}-\frac{x}{3}-\frac{{4y}}{3},}\\{3z = \frac{a}{3}-\frac{x}{3}-\frac{{4y}}{3}.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\)
Рассмотрим первое уравнение полученной системы:
\({x^2} + 16{y^2} = x + 2y + \frac{a}{3}-\frac{x}{3}-\frac{{4y}}{3}\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,{x^2}-\frac{2}{3}x + 16{y^2}-\frac{2}{3}y = \frac{a}{3}\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2}-2 \cdot \frac{1}{3}x + {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2}-{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} + 16\left( {{y^2}-2 \cdot \frac{1}{{48}}y + {{\left( {\frac{1}{{48}}} \right)}^2}-{{\left( {\frac{1}{{48}}} \right)}^2}} \right) = \frac{a}{3}\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,{\left( {x-\frac{1}{3}} \right)^2} + 16{\left( {y-\frac{1}{{48}}} \right)^2} = \frac{a}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{144}}.\)
Последнее уравнение будет иметь одно решение, если:
\(\frac{a}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{144}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\frac{a}{3} = -\frac{{17}}{{144}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a = -\frac{{17}}{{48}}.\)
Таким образом, при \(a = -\frac{{17}}{{48}}\) исходная система уравнений будет иметь единственное решение.
Ответ: \(-\frac{{17}}{{48}}.\)