4В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \({9^x} + \left( {a + 2} \right)\, \cdot {3^x} + \frac{a}{2} + 3 = 0\) имеет ровно один корень.
Пусть \({3^x} = t,\;\;\;\;t > 0.\) Тогда уравнение примет вид: \({t^2} + \left( {a + 2} \right)\,t + \frac{a}{2} + 3 = 0.\) Исходное уравнение будет иметь ровно один корень, если полученное уравнение имеет корни, один из которых больше нуля. Это возможно в следующих случаях. Рассмотрим первый случай: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{D = 0,}\\{t > 0.\;\,}\end{array}} \right.\) \(D = {a^2} + 4a + 4-2a-12 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{a^2} + 2a-8 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2,\;\;}\\{a = -4.}\end{array}} \right.\) Если \(a = 2,\) то \({t^2} + 4t + 4 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,{\left( {t + 2} \right)^2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,t = -2 < 0,\) значит \(a = 2\) не подходит. Если \(a = -4,\) то \({t^2}-2t + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,{\left( {t-1} \right)^2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,t = 1 > 0,\) значит \(a = -4\) подходит. Рассмотрим второй случай: \({t_1} < 0,\,\,\,\,\,{t_2} > 0.\) \(f\left( 0 \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{a}{2} + 3 < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a < -6.\) Рассмотрим третий случай: \({t_1} = 0,\;\;\;\;{t_2} > 0.\) Если \(t = 0,\) то \(\frac{a}{2} + 3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a = -6.\) Подставим \(a = -6\) в уравнение \({t^2} + \left( {a + 2} \right)\,t + \frac{a}{2} + 3 = 0:\) \({t^2}-4t = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;t\left( {t-4} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0,\;\;\;\;\,\,}\\{t = 4 > 0.}\end{array}} \right.\) Значит, \(a = -6\) подходит. Таким образом, при \(a \in \left( {-\infty ;\,-6} \right] \cup \left\{ {-4} \right\}\) уравнение будет иметь ровно один корень. Ответ: \(\left( {-\infty ;\,-6} \right] \cup \left\{ {-4} \right\}.\)
Введём функцию \(f\left( t \right) = {t^2} + \left( {a + 2} \right)\,t + \frac{a}{2} + 3,\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх (см. рис.). Для того, чтобы уравнение \({t^2} + \left( {a + 2} \right)\,t + \frac{a}{2} + 3 = 0\) имело корни разных знаков, достаточно выполнения условия: