\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 4{y^2} = 3z,\,}\\{x + 2y + 3z = a}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 4{y^2} = a-x-2y,}\\{3z = a-x-2y.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\)
Рассмотрим первое уравнение полученной системы:
\({x^2} + 4{y^2} = a-x-2y\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,{x^2} + x + 4{y^2} + 2y = a\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot x + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}-{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + 4\left( {{y^2} + 2 \cdot \frac{1}{4}y + {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^2}-{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^2}} \right) = a\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + 4{\left( {y + \frac{1}{4}} \right)^2} = a + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}.\)
Последнее уравнение будет иметь одно решение, если:
\(a + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a = -\frac{1}{2}.\)
Таким образом, при \(a = -\frac{1}{2}\) исходная система уравнений будет иметь единственное решение.
Ответ: \(-\frac{1}{2}.\)