41В (ЕГЭ 2013). Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \(\left( {4\cos x-3-a} \right)\cos x-2,5\cos 2x + 1,5 = 0\) имеет хотя бы один корень.
Так как \(\cos 2x = 2{\cos ^2}x-1\) то исходное уравнение примет вид: \(\left( {4\cos x-3-a} \right)\cos x-2,5(2{\cos ^2}x-1) + 1,5 = 0.\) Пусть \(\cos x = t,\;\;\;\;t \in \left[ {-1;1} \right].\) Тогда: \(\left( {4t-3-a} \right)t-2,5\left( {2{t^2}-1} \right) + 1,5 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,{t^2} + \left( {3 + a} \right)t-4 = 0.\) Чтобы исходное уравнение имело хотя бы один корень, необходимо, чтобы уравнение \({t^2} + \left( {3 + a} \right)t-4 = 0\) имело хотя бы один корень \(t \in \left[ {-1;1} \right].\) Так как \(f\left( 0 \right) = -4,\) то уравнение \({t^2} + \left( {3 + a} \right)t-4 = 0\) будет иметь корни \(t \in \left[ {-1;1} \right],\) если (см. рис.): \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( {-1} \right) \ge 0,}\\{f\left( 1 \right) \ge 0\;\;\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{1-3-a-4 \ge 0,}\\{1 + 3 + a-4 \ge 0\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \le -6,}\\{a \ge 0\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a \in \left( {-\infty ;-6} \right] \cup \left[ {0;\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {-\infty ;-6} \right] \cup \left[ {0;\infty } \right).\)
Введём функцию \(f\left( t \right) = {t^2} + \left( {3 + a} \right)t-4,\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх.