42В (ЕГЭ 2013). Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение  \({\log _{1-x}}\left( {a-x + 2} \right) = 2\)  имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку \(\left[ {-1;\,1} \right).\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ {-\frac{5}{4};-1} \right) \cup \left( {-1;1} \right]\)

Решение

Исходное уравнение равносильно следующей системе:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a-x + 2 = {{\left( {1-x} \right)}^2},}\\{1-x > 0,\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{1-x \ne 1\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = {x^2}-x-1,}\\{x < 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x \ne 0.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\,\)

Построим все условия последней системы в системе координат  \(xOa.\)

Рассмотрим первое уравнение последней системы  \(a = {x^2}-x-1,\)  графиком которой является парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдём вершину параболы и значение функции в этой вершине:

\(x{  _{\rm{B}}} = \frac{1}{2};\;\;\;\;a\left( {\frac{1}{2}} \right) = -\frac{5}{4}.\)

Из рисунка заметим, что при  \(a = -\frac{5}{4}\)  и  \(a \in \left( {-1;1} \right]\)  уравнение имеет один корень, а при  \(a \in \left( {-\frac{5}{4};-1} \right)\)  – 2 корня.

Таким образом, при \(a \in \left[ {-\frac{5}{4};-1} \right) \cup \left( {-1;1} \right]\) уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку  \(\left[ {-1;1} \right).\)

Ответ:  \(\left[ {-\frac{5}{4};-1} \right) \cup \left( {-1;1} \right]\)

Замечание: Условие  \(a-x + 2 > 0\)  не учитывали, так как из равенства  \(a-x + 2 = {\left( {1-x} \right)^2}\)  следует, что  \(a-x + 2 > 0\)  при  \(1-x > 0.\)