42В (ЕГЭ 2013). Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \({\log _{1-x}}\left( {a-x + 2} \right) = 2\) имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку \(\left[ {-1;\,1} \right).\)
ОТВЕТ: \(\left[ {-\frac{5}{4};-1} \right) \cup \left( {-1;1} \right]\)
Исходное уравнение равносильно следующей системе: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a-x + 2 = {{\left( {1-x} \right)}^2},}\\{1-x > 0,\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{1-x \ne 1\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = {x^2}-x-1,}\\{x < 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x \ne 0.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\,\) Построим все условия последней системы в системе координат \(xOa.\) Рассмотрим первое уравнение последней системы \(a = {x^2}-x-1,\) графиком которой является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём вершину параболы и значение функции в этой вершине: \(x{ _{\rm{B}}} = \frac{1}{2};\;\;\;\;a\left( {\frac{1}{2}} \right) = -\frac{5}{4}.\) Из рисунка заметим, что при \(a = -\frac{5}{4}\) и \(a \in \left( {-1;1} \right]\) уравнение имеет один корень, а при \(a \in \left( {-\frac{5}{4};-1} \right)\) – 2 корня. Таким образом, при \(a \in \left[ {-\frac{5}{4};-1} \right) \cup \left( {-1;1} \right]\) уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку \(\left[ {-1;1} \right).\) Ответ: \(\left[ {-\frac{5}{4};-1} \right) \cup \left( {-1;1} \right]\) Замечание: Условие \(a-x + 2 > 0\) не учитывали, так как из равенства \(a-x + 2 = {\left( {1-x} \right)^2}\) следует, что \(a-x + 2 > 0\) при \(1-x > 0.\)