Исходное уравнение равносильно следующей системе:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a-x + 2 = {{\left( {1-x} \right)}^2},}\\{1-x > 0,\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{1-x \ne 1\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = {x^2}-x-1,}\\{x < 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x \ne 0.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\,\)
Построим все условия последней системы в системе координат \(xOa.\)
Рассмотрим первое уравнение последней системы \(a = {x^2}-x-1,\) графиком которой является парабола, ветви которой направлены вверх.
Найдём вершину параболы и значение функции в этой вершине:
\(x{ _{\rm{B}}} = \dfrac{1}{2};\;\;\;\;a\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = -\dfrac{5}{4}.\)
Из рисунка заметим, что при \(a = -\dfrac{5}{4}\) и \(a \in \left( {-1;1} \right]\) уравнение имеет один корень, а при \(a \in \left( {-\dfrac{5}{4};-1} \right)\) – 2 корня.
Таким образом, при \(a \in \left[ {-\dfrac{5}{4};-1} \right) \cup \left( {-1;1} \right]\) уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку \(\left[ {-1;1} \right).\)
Ответ: \(\left[ {-\dfrac{5}{4};-1} \right) \cup \left( {-1;1} \right]\)
Замечание: Условие \(a-x + 2 > 0\) не учитывали, так как из равенства \(a-x + 2 = {\left( {1-x} \right)^2}\) следует, что \(a-x + 2 > 0\) при \(1-x > 0.\)