43В (ЕГЭ 2013). Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \(\left| {\,{{\sin }^2}x + 2\cos x + a\,} \right| = {\sin ^2}x + \cos x-a\) имеет на промежутке \(\left( {\,\frac{\pi }{2};\,\pi } \right]\) единственный корень.
Уравнение вида \(\left| {f\left( x \right)} \right| = g\left( x \right)\) равносильно системе: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{g\left( x \right) \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) = g\left( x \right),\;\,}\\{f\left( x \right) = -g\left( x \right).}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\) \(\left| {\,{{\sin }^2}x + 2\cos x + a\,} \right| = {\sin ^2}x + \cos x-a\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\sin }^2}x + \cos x-a \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\sin }^2}x + 2\cos x + a = {{\sin }^2}x + \cos x-a,\;\,}\\{{{\sin }^2}x + 2\cos x + a = -{{\sin }^2}x-\cos x + a}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\sin }^2}x + \cos x-a \ge 0,\,\,}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = -2a,\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,\,}\\{2{{\sin }^2}x + 3\cos x = 0.}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\) Так как \({\sin ^2}x = 1-{\cos ^2}x,\) то полученная система примет вид: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1-{{\cos }^2}x + \cos x-a \ge 0,\,\,}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = -2a,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,\,}\\{2{{\cos }^2}x-3\cos x-2 = 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \le -{{\cos }^2}x + \cos x + 1,\,\;\;\,}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = -2a,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,\,}\\{2{{\cos }^2}x-3\cos x-2 = 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \le -{{\cos }^2}x + \cos x + 1,}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = -2a,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = -\frac{1}{2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\cos x = 2 \notin \left[ {-1;1} \right]\,\;\;\;\;\;\,}\end{array}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \le -{{\cos }^2}x + \cos x + 1,}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = -2a,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\cos x = -\frac{1}{2}.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\) Пусть \(\cos x = t,\;\;\;\;t \in \left[ {-1;0} \right),\) так как \(x \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right]\). Тогда последняя система примет вид: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \in \left[ {-1;0} \right),\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{a \le -{t^2} + t + 1,}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = -2a,\;\;\;\;\;\,\;\,}\\{t = -\frac{1}{2}.\;\;\;\;\;\;\,\;\,}\end{array}} \right.}\end{array}}\end{array}} \right.\) Графиком функции \(a = -{t^2} + t + 1\) является парабола, ветви которой направлены вниз: \({t_{\rm{B}}} = \frac{1}{2}.\) Условию \(a \le -{t^2} + t + 1\) удовлетворяет заштрихованная область (синим цветом). Графики прямых \(t = -2a,\,\;\;\;\,t = -\frac{1}{2},\) являющееся решениями нарисованы красным цветом. Графики \(t = -2a,\,\;\;\;\,t = -\frac{1}{2},\,\,\;\;\;\;a = -{t^2} + t + 1\) пересекаются в точке \(\left( {-\frac{1}{2};\frac{1}{4}} \right).\) Из рисунка видно, что при \(a \in \left( {-\infty ;0} \right] \cup \left\{ {\frac{1}{4}} \right\}\) уравнение имеет единственный корень. Ответ: \(\left( {-\infty ;0} \right] \cup \left\{ {\frac{1}{4}} \right\}.\)
Построим все условия последней системы в системе координат \(tOa.\)