44В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \({4^x} + \left( {a-6} \right) \cdot {2^x} = \left( {2 + 3\,\left| {\,a\,} \right|\,} \right) \cdot {2^x} + \left( {a-6} \right)\,\left( {3\,\left| {\,a\,} \right| + 2\,} \right)\) имеет единственное решение.
ОТВЕТ: \(\left\{ {-2;1} \right\} \cup \left[ {6;\infty } \right).\)
\({4^x} + \left( {a-6} \right) \cdot {2^x} = \left( {2 + 3\,\left| {\,a\,} \right|\,} \right) \cdot {2^x} + \left( {a-6} \right)\,\left( {3\,\left| {\,a\,} \right| + 2\,} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,{2^{2x}} + \left( {a-6-\left( {2 + 3\left| {\,a\,} \right|} \right)} \right){2^x}-\left( {a-6} \right)\left( {3\left| {\,a\,} \right| + 2} \right) = 0.\) Пусть \({2^x} = t.\) Тогда полученное уравнение примет вид: \({t^2} + \left( {a-6-\left( {2 + 3\left| {\,a\,} \right|} \right)} \right)t-\left( {a-6} \right)\left( {3\left| {\,a\,} \right| + 2} \right) = 0;\;\;\;\;D = {\left( {a-6} \right)^2}-2\left( {a-6} \right)\left( {2 + 3\left| {\,a\,} \right|} \right) + \) \( + {\left( {2 + 3\left| {\,a\,} \right|} \right)^2} + 4\left( {a-6} \right)\left( {3\left| {\,a\,} \right| + 2} \right) = {\left( {a-6} \right)^2} + 2\left( {a-6} \right)\left( {2 + 3\left| {\,a\,} \right|} \right) + {\left( {2 + 3\left| {\,a\,} \right|} \right)^2} = \) \( = {\left( {a-6 + 2 + 3\left| {\,a\,} \right|} \right)^2};\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{{-\left( {a-6} \right) + 2 + 3\left| {\,a\,} \right| + a-6 + 2 + 3\left| {\,a\,} \right|}}{2},\,\,}\\{t = \frac{{-\left( {a-6} \right) + 2 + 3\left| {\,a\,} \right|-(a-6)-2-3\left| {\,a\,} \right|}}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 2 + 3\left| {\,a\,} \right|,}\\{t = 6-a.\;\;\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^x} = 2 + 3\left| a \right|,}\\{{2^x} = 6-a.\;\;\;\;}\end{array}} \right.\) Так как \(2 + 3\left| a \right| > 0\) при \(a \in R,\) то первое уравнение полученной совокупности имеет ровно одно решение. Следовательно, чтобы исходное уравнение имело одно решение второе уравнение не должно иметь решений. Для этого: \(6-a \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a \ge 6.\) Рассмотрим случай, когда \(D = 0.\) Тогда: \(a-6 + 2 + 3\left| a \right| = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,3\left| a \right| = 4-a\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3a = 4-a,\;\;}\\{a \ge 0\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-3a = 4-a,}\\{a < 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1,\;\;\,}\\{a = -2.}\end{array}} \right.\) Если \(a = 1,\) то \(t = 5,\) уравнение \({2^x} = 5\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = {\log _2}5\) имеет одно решение, следовательно \(a = 1\) подходит. Если \(a = -2,\) то \(t = 8,\) уравнение \({2^x} = 8\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 3\) имеет одно решение, следовательно \(a = -2\) подходит. Таким образом, при \(a \in \left\{ {-2;1} \right\} \cup \left[ {6;\infty } \right)\) исходное уравнение имеет единственное решение. Ответ: \(\left\{ {-2;1} \right\} \cup \left[ {6;\infty } \right).\)