45В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \(\frac{{{4^{-{x^2}}}-a \cdot {2^{1-{x^2}}} + a}}{{{2^{1-{x^2}}}-1}} = 3\) имеет хотя бы одно решение.
\(\frac{{{4^{-{x^2}}}-a \cdot {2^{1-{x^2}}} + a}}{{{2^{1-{x^2}}}-1}} = 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\frac{{{2^{-2{x^2}}}-2a \cdot {2^{-{x^2}}} + a}}{{2 \cdot {2^{-{x^2}}}-1}} = 3.\) Пусть \({2^{-{x^2}}} = t,\;\;\,\;t \in \left( {0;1} \right].\) Тогда полученное уравнение примет вид: \(\frac{{{t^2}-2at + a}}{{2t-1}} = 3\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t^2}-\left( {2a + 6} \right)t + a + 3 = 0,}\\{t \ne \frac{1}{2}.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\) Введём функцию \(f\left( t \right) = {t^2}-\left( {2a + 6} \right)t + a + 3,\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх. Так как \(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{4},\) то \(t = \frac{1}{2}\) не является корнем уравнения \({t^2}-\left( {2a + 6} \right)t + a + 3 = 0\) ни при каком a. Исходное уравнение будет иметь решение, если уравнение \({t^2}-\left( {2a + 6} \right)t + a + 3 = 0\) будет иметь хотя бы одно решение \(t \in \left( {0;1} \right]\), что возможно в следующих случаях. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( 0 \right) < 0,}\\{f\left( 1 \right) \ge 0\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + 3 < 0,\;}\\{-a-2 \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a < -3.\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( 0 \right) > 0,}\\{f\left( 1 \right) \le 0\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + 3 > 0,\;}\\{-a-2 \le 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a \ge -2.\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( 0 \right) > 0,}\\{f\left( 1 \right) \ge 0,\,}\\{0 < {t_{\rm{B}}} \le 1,}\\{D \ge 0\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + 3 > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{-a-2 \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{0 < a + 3 \le 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{4{a^2} + 20a + 24 \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > -3,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{a \le -2,\;\;\;\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;\;\;\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\,}\\{-3 < a \le -2,\;\;\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;\;\;\;}\\{a \in \,\left( {-\infty ;-3} \right] \cup \left[ {-2;\infty } \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\;a = -2.\) Осталось проверить случай когда один из корней \(t = 0.\) В этом случае: \(a + 3 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,a = -3.\) Тогда: \({t^2}-\left( {-6 + 6} \right)t-3 + 3 = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{t^2} = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,t = 0 \notin \,\left( {0;1} \right].\) Следовательно, \(a = -3\) не подходит. Таким образом, при \(a \in \left( {-\infty ;\,-3} \right) \cup \left[ {-2;\,\infty } \right)\) исходное уравнение имеет хотя бы одно решение. Ответ: \(\left( {-\infty ;\,-3} \right) \cup \left[ {-2;\,\infty } \right).\)
Рассмотрим первый случай (см. рис. 1):
Рассмотрим второй случай (см. рис. 2):
Рассмотрим третий случай (см. рис. 3):