46В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \(\left( {{x^2} + x} \right)\,\left( {{x^2} + 5x + 6} \right) = a\) имеет ровно три корня.
\(\left( {{x^2} + x} \right)\,\left( {{x^2} + 5x + 6} \right) = a\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = a\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) = a.\) Пусть \({x^2} + 3x = t.\) Тогда полученное уравнение примет вид: \(t\left( {t + 2} \right) = a\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,{t^2} + 2t-a = 0.\) Из графика видно, что если \(t = -\frac{9}{4},\) то уравнение \({x^2} + 3x = t\) имеет один корень \(x = -\frac{3}{2}\) . Если \(t > -\frac{9}{4},\) то уравнение \({x^2} + 3x = t\) имеет два корня. Поэтому исходное уравнение будет иметь три корня, если уравнение \({t^2} + 2t-a = 0\) будет иметь корни \({t_1} = -\frac{9}{4},\;\;\;\;{t_2} > -\frac{9}{4}.\) Если \(t = -\frac{9}{4},\) то: \(\frac{{81}}{{16}}-\frac{9}{2}-a = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a = \frac{9}{{16}}.\) Если \(a = \frac{9}{{16}},\) то уравнение \({t^2} + 2t-a = 0\) примет вид: \({t^2} + 2t-\frac{9}{{16}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,{t_1} = -\frac{9}{4};\;\;\;\;{t_2} = \frac{1}{4} > -\frac{9}{4}.\) Таким образом, при \(a = \frac{9}{{16}}\) исходное уравнение имеет ровно три корня. Ответ: \(\frac{9}{{16}}.\)
Построим график функции \(t = {x^2} + 3x,\) являющейся параболой, ветви которой направлены вверх, найдём вершину параболы и значение данной функции в вершине: \({t_{\rm{B}}} = -\frac{3}{2};\;\;\;\;t\left( {-\frac{3}{2}} \right) = -\frac{9}{4}\) (см. рис.).