47В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \(2a{\left( {x + 1} \right)^2}-\left| {\,x + 1\,} \right| + 1 = 0\) имеет четыре различных корня.
\(2a{\left( {x + 1} \right)^2}-\left| {x + 1} \right| + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,2a{\left| {x + 1} \right|^2}-\left| {x + 1} \right| + 1 = 0.\) Пусть \(\left| {x + 1} \right| = t.\) Если \(t < 0,\) то уравнение \(\left| {x + 1} \right| = t\) не имеет решений. Если \(t = 0,\) то уравнение \(\left| {x + 1} \right| = t\) имеет один корень: \(x = -1.\) Если \(t > 0,\) то уравнение \(\left| {x + 1} \right| = t\) имеет два корня. Исходное уравнение после замены примет вид: \(2a{t^2}-t + 1 = 0.\) Чтобы исходное уравнение имело четыре различных корня, уравнение \(2a{t^2}-t + 1 = 0\) должно иметь два положительных корня Если \(a = 0,\) то уравнение \(2a{t^2}-t + 1 = 0\) будет иметь один корень \(t = 1\), то есть \(a = 0\) не подходит. Так как \(f\left( 0 \right) = 1,\) то уравнение \(2a{t^2}-t + 1 = 0\) будет иметь два положительных корня в следующем случае (см. рис.): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{D > 0,}\\{a > 0,\;}\\{{t_{\rm{B}}} > 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{1-8a > 0,}\\{a > 0,\;\;\;\;\;\;}\end{array}}\\{\frac{1}{{4a}} > 0\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a < \frac{1}{8},}\\{a > 0,\;}\end{array}}\\{a > 0\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a \in \left( {0;\frac{1}{8}} \right).\) Ответ: \(\left( {0;\frac{1}{8}} \right).\)
Введём функцию \(f\left( t \right) = 2a{t^2}-t + 1,\) которая является параболой.