48В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство \({\log _{0,5}}\left( {{x^2} + a\,x + 1} \right) < 1\) выполняется для любого \(x < 0.\)
\({\log _{0,5}}\left( {{x^2} + ax + 1} \right) < 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,{\log _{0,5}}\left( {{x^2} + ax + 1} \right) < {\log _{0,5}}0,5\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,{x^2} + ax + 1 > 0,5.\) Из последнего неравенства следует, что условие \({x^2} + ax + 1 > 0\) можно не учитывать. \({x^2} + ax + 1 > 0,5\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,{x^2} + ax + 0,5 > 0.\) Введём функцию \(f\left( x \right) = {x^2} + ax + 0,5,\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх. Рассмотрим первый случай (см. рис. 1): \(D < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,{a^2}-2 < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a \in \left( {-\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right).\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{D \ge 0,\;\;\;\,}\\{{t_{\rm{B}}} > 0,\;\;\;\,}\\{f\left( 0 \right) \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2}-2 \ge 0,}\\{-\frac{a}{2} > 0,\;\;\;\,}\\{0,5 \ge 0\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {-\infty ;-\sqrt 2 } \right] \cup \left[ {\sqrt 2 ;\infty } \right),}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{a \in R\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {-\infty ;-\sqrt 2 } \right].\) Ответ: \(\left( {-\infty ;\sqrt 2 } \right).\)
Неравенство \({x^2} + ax + 0,5 > 0\) выполняется для любого \(x < 0\) в следующий случаях.
Рассмотрим второй случай (см. рис. 2):