49В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_3}\left( {y-3} \right)-2{{\log }_9}x = 0,}\\{{{\left( {x + a} \right)}^2}-2y-5a = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\) имеет хотя бы одно решение.
ОТВЕТ: \(\left[ {-\dfrac{7}{3};6} \right).\)
Исходная система уравнений равносильна следующей системе: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_3}\left( {y-3} \right) = {{\log }_3}x,\;\;}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{y-3 > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{{\left( {x + a} \right)}^2}-2y-5a = 0}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = x + 3,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{y > 3,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{{x^2} + 2ax + {a^2}-2x-6-5a = 0}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = x + 3,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{y > 3,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,}\\{{x^2} + \left( {2a-2} \right)x + {a^2}-5a-6 = 0.}\end{array}}\end{array}} \right.\) Введём функцию \(f\left( x \right) = {x^2} + \left( {2a-2} \right)x + {a^2}-5a-6,\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх. Исходная система имеет хотя бы одно решение, если уравнение \({x^2} + \left( {2a-2} \right)x + {a^2}-5a-6 = 0\) будет иметь хотя бы один положительный корень. Рассмотрим случай когда это уравнение вообще не имеет корней (см. рис. 1): \(D < 0\;\,\; \Leftrightarrow \,\,\,\;4{a^2}-8a + 4-4{a^2} + 20a + 24 < 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,12a + 28 < 0\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,a < -\dfrac{7}{3}.\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{D \ge 0,\;\;\;\,}\\{{x_{\rm{B}}} < 0,\;\;\,\,}\\{f\left( 0 \right) \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{12a + 28 \ge 0,\;\,}\\{-a + 1 < 0,\;\;\;\;\;\,}\end{array}}\\{{a^2}-5a-6 \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a \ge -\dfrac{7}{3},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\,}\\{a > 1,\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}}\\{a \in \left( {-\infty ;-1} \right] \cup \left[ {6;\infty } \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a \in \left[ {6;\infty } \right).\) Следовательно, при \(a \in \left( {-\infty ;-\dfrac{7}{3}} \right) \cup \left[ {6;\infty } \right)\) уравнение \({x^2} + \left( {2a-2} \right)x + {a^2}-5a-6 = 0\) не имеет положительных корней и исходная система не имеет решений. Таким образом, при \(a \in \left[ {-\dfrac{7}{3};6} \right)\) исходная система имеет хотя бы одно решение. Ответ: \(\left[ {-\dfrac{7}{3};6} \right).\) 
Определим когда уравнение \({x^2} + \left( {2a-2} \right)x + {a^2}-5a-6 = 0\) не будет иметь положительных корней.
Рассмотрим случай когда корни не положительные (см. рис. 2):