5В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \(\frac{{5a}}{{a-3}} \cdot {7^{\left| {\,x\,} \right|}} = {49^{\left| {\,x\,} \right|}} + \frac{{6a + 7}}{{a-3}}\) имеет два различных корня.
Пусть \({7^{\left| x \right|}} = t,\;\;\;\;t \ge 1.\) Тогда уравнение примет вид: \(\frac{{5a}}{{a-3}}t = {t^2} + \frac{{6a + 7}}{{a-3}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{t^2}-\frac{{5a}}{{a-3}}t + \frac{{6a + 7}}{{a-3}} = 0.\) Если \(t = 1,\) то уравнение \({7^{\left| x \right|}} = t\) будет иметь один корень \(x = 0.\) Если \(t > 1,\) то уравнение \({7^{\left| x \right|}} = t\) будет иметь два различных корня. Поэтому исходное уравнение будет иметь два различных корня, если уравнение \({t^2}-\frac{{5a}}{{a-3}}t + \frac{{6a + 7}}{{a-3}} = 0\) будет иметь ровно один корень больше единицы, что возможно в следующих случаях. Рассмотрим первый случай: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{D = 0,}\\{t > 1.\;\,\,}\end{array}} \right.\) \(D = \frac{{25{a^2}}}{{{{\left( {a-3} \right)}^2}}}-\frac{{24a + 28}}{{a-3}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{a^2} + 44a + 84 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = -2,\;\;}\\{a = -42.}\end{array}} \right.\) Если \(a = -2,\) то \({t^2}-2t + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,{\left( {t-1} \right)^2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,t = 1,\) значит \(a = -2\) не подходит. Если \(a = -42,\) то \({t^2}-\frac{{14}}{3}t + \frac{{49}}{9} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,{\left( {t-\frac{7}{3}} \right)^2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,t = \frac{7}{3} > 1,\) значит \(a = -42\) подходит. Введём функцию \(f\left( t \right) = {t^2}-\frac{{5a}}{{a-3}}t + \frac{{6a + 7}}{{a-3}},\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх (см. рис.). Для того, чтобы у уравнения \({t^2}-\frac{{5a}}{{a-3}}t + \frac{{6a + 7}}{{a-3}} = 0\) один из корней был меньше 1, а второй больше 1, достаточно выполнения условия: \(f\left( 1 \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;1-\frac{{5a}}{{a-3}} + \frac{{6a + 7}}{{a-3}} < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\frac{{2a + 4}}{{a-3}} < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a \in \left( {-2;3} \right).\) Таким образом, при \(a \in \left\{ {-42} \right\} \cup \left( {-2;\,3} \right)\) исходное уравнение будет иметь два различных корня. Ответ: \(\left\{ {-42} \right\} \cup \left( {-2;\,3} \right).\)
Рассмотрим второй случай: \({t_1} < 1,\,\,\,\,{t_2} > 1.\)