50В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \({4^x} + a \cdot {25^x} = 3 \cdot {10^x}\) имеет хотя бы один корень.
\({4^x} + a \cdot {25^x} = 3 \cdot {10^x}\left| {\,:{{25}^x} \ne 0} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,{\left( {\frac{4}{{25}}} \right)^x} + a = 3 \cdot {\left( {\frac{{10}}{{25}}} \right)^x}\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,{\left( {\frac{2}{5}} \right)^{2x}}-3 \cdot {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x} + a = 0.\) Пусть \({\left( {\frac{2}{5}} \right)^x} = t,\;\;\;\;t > 0.\) Тогда полученное уравнение примет вид: \({t^2}-3t + a = 0.\) Исходное уравнение будет иметь хотя бы одно решение, если уравнение \({t^2}-3t + a = 0\) будет иметь хотя бы один положительный корень. Заметим, что \({t_{\rm{B}}} = -\frac{b}{{2a}} = \frac{3}{2}.\) Следовательно, уравнение \({t^2}-3t + a = 0\) имеет хотя бы один положительный корень (см. рис.), если \(D = 9-4a \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a \le \frac{9}{4}.\) Ответ: \(\left( {-\infty ;\,\frac{9}{4}} \right].\)
Введём функцию \(f\left( t \right) = {t^2}-3t + a,\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх.