51В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \({4^x} + a \cdot {49^x} = 4 \cdot {14^x}\) имеет хотя бы один корень.
\({4^x} + a \cdot {49^x} = 4 \cdot {14^x}\left| {\,:{{49}^x} \ne 0} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\,{\left( {\frac{4}{{49}}} \right)^x} + a = 4 \cdot {\left( {\frac{{14}}{{49}}} \right)^x}\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,{\left( {\frac{2}{7}} \right)^{2x}}-4 \cdot {\left( {\frac{2}{7}} \right)^x} + a = 0.\) Пусть \({\left( {\frac{2}{7}} \right)^x} = t,\;\;\;\;t > 0.\) Тогда полученное уравнение примет вид: \({t^2}-4t + a = 0.\) Исходное уравнение будет иметь хотя бы одно решение, если уравнение \({t^2}-4t + a = 0\) будет иметь хотя бы один положительный корень. Заметим, что \({t_{\rm{B}}} = -\frac{b}{{2a}} = \frac{4}{2} = 2.\) Следовательно, уравнение \({t^2}-4t + a = 0\) имеет хотя бы один положительный корень (см. рис.), если \(D = 16-4a \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a \le 4.\) Ответ: \(\left( {-\infty ;\,4} \right].\)
Введём функцию \(f\left( t \right) = {t^2}-4t + a,\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх.