52В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \({\sin ^2}x + {\left( {a-2} \right)^2}\sin x + a\left( {a-2} \right)\left( {a-3} \right) = 0\) на отрезке \(\left[ {\,0;\,2\pi } \right]\) имеет ровно три различных корня.
Пусть \(\sin x = t,\;\;\;\,\,t \in \left[ {-1;1} \right].\) Тогда исходное уравнение примет вид: \({t^2} + {\left( {a-2} \right)^2}t + a\left( {a-2} \right)\left( {a-3} \right) = 0.\) Исходное уравнение имеет ровно три различных корня на отрезке \(\left[ {0;2\pi } \right]\) в следующих случаях. Рассмотрим первый случай: Пусть \({t_1} = 0;\;\;\;\;{t_2} \notin \left[ {-1;1} \right].\) Тогда: \(a\left( {a-2} \right)\left( {a-3} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 0,}\\{a = 2,}\\{a = 3.}\end{array}} \right.\) Если \(a = 0,\) то \({t^2} + 4t = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,{t_1} = 0,\;\;\,\;{t_2} = -4 \notin \left[ {-1;1} \right].\) Значит, \(a = 0\) подходит. Если \(a = 2,\) то \({t^2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;t = 0.\) Значит, \(a = 2\) подходит. Если \(a = 3,\) то \({t^2} + t = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,{t_1} = 0,\;\;\,\;{t_2} = -1 \in \left[ {-1;1} \right].\) Значит, \(a = 3\) не подходит. Рассмотрим второй случай: Пусть \({t_1} = 1;\;\;\;\;{t_2} \in \left( {-1;0} \right) \cup \left( {0;1} \right).\) Тогда: \(1 + {\left( {a-2} \right)^2} + a\left( {a-2} \right)\left( {a-3} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,{a^3}-4{a^2} + 2a + 5 = 0.\) Введём функцию \(y = {a^3}-4{a^2} + 2a + 5.\) Найдём производную полученной функции: \(y\prime = 3{a^2}-8a + 2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,{a_1} = \frac{{4-\sqrt {10} }}{3};\;\;\;\;{a_2} = \frac{{4 + \sqrt {10} }}{3}.\) Проверим знаки производной (см. рис.): \(y\left( {{a_2}} \right) = \frac{{79-20\sqrt {10} }}{{27}} > 0.\) Значит, уравнение \({a^3}-4{a^2} + 2a + 5 = 0\) имеет один корень, который меньше \({a_1} = \frac{{4-\sqrt {10} }}{3}.\) Так как \(y\left( {-1} \right) = -2 < 0,\) а \(y\left( {-\frac{1}{2}} \right) = \frac{{23}}{8} > 0,\) то этот корень принадлежит интервалу от \(\left( {-1;-\frac{1}{2}} \right),\) но \({t_2} = a\left( {a-2} \right)\left( {a-3} \right)\) (по теореме Виета) при \(a \in \left( {-1;-\frac{1}{2}} \right)\) будет меньше \(-1,\) что не удовлетворяет условию \({t_2} \in \left( {-1;0} \right) \cup \left( {0;1} \right),\) поэтому в этом случае уравнение будет иметь одно решение \(x = \frac{\pi }{2}.\) Рассмотрим третий случай: Пусть \({t_1} = -1;\;\;\;\;{t_2} \in \left( {-1;0} \right) \cup \left( {0;1} \right).\) Тогда: \(1-{\left( {a-2} \right)^2} + a\left( {a-2} \right)\left( {a-3} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left( {a-3} \right)\left( {{a^2}-3a + 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a = 3,\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{a = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2},}\end{array}}\\{a = \frac{{3-\sqrt 5 }}{2}.}\end{array}} \right.\) Корень \(a = 3\) не подходит (см. случай 1). Второй корень \({t_2} = -a\left( {a-2} \right)\left( {a-3} \right)\) (по теореме Виета). \({t_2}\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right) = \frac{{\sqrt 5 -1}}{2},\) то есть \({t_2} \in \left( {-1;0} \right) \cup \left( {0;1} \right),\) значит \(a = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\) подходит. \(t{ _2}\left( {\frac{{3-\sqrt 5 }}{2}} \right) = \frac{{-1-\sqrt 5 }}{2} < -1,\) то есть \({t_2} \notin \left( {-1;0} \right) \cup \left( {0;1} \right),\) значит \(a = \frac{{3-\sqrt 5 }}{2}\) не подходит Таким образом, при \(a = 0;\,\;\,\,\,a = 2;\,\;\,\,\,a = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}.\) исходное уравнение на отрезке \(\left[ {\,0;\,2\pi } \right]\) имеет ровно три различных корня Ответ: \(0;\,\;\,\,\,2;\,\;\,\,\,\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}.\)