53В (ЕГЭ 2021). Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \(\left| {a-2} \right| \cdot {x^4}-2a{x^2} + \left| {a-12} \right| = 0\) имеет хотя бы два различных корня.
ОТВЕТ: \(\left[ {\dfrac{{12}}{7};\,3} \right] \cup \left[ {\,4;\,\infty } \right).\)
Пусть \({x^2} = t.\) Если \(t > 0,\) то уравнение \({x^2} = t\) будет иметь два различных корня, если же \(t = 0,\) то один корень \(\left( {x = 0} \right).\) После замены исходное уравнение примет вид: \(\left| {a-2} \right| \cdot {t^2}-2at + \left| {a-12} \right| = 0.\) Если \(a = 2,\) то \(-4t = — 10\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,t = \dfrac{5}{2} > 0.\) Следовательно, при \(a = 2\) исходное уравнение будет иметь два различных корня, то есть \(a = 2\) подходит. Если \(a \ne 2,\) то \(D = 4{a^2}-4\left| {\left( {a-2} \right)\left( {a-12} \right)} \right| \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left| {{a^2}-14a + 24} \right| \le {a^2}.\) Неравенство вида \(\left| {f\left( x \right)} \right| \le a\) при \(a \ge 0\) равносильно двойному неравенству: \(-a \le f\left( x \right) \le a\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) \le a,\;\,}\\{f\left( x \right) \ge -a.}\end{array}} \right.\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {{a^2}-14a + 24} \right| \le {a^2},}\\{a \ne 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-{a^2} \le {a^2}-14a + 24 \le {a^2},}\\{a \ne 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2}-14a + 24 \le {a^2},\,\,}\\{{a^2}-14a + 24 \ge -{a^2},}\\{a \ne 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-14a \le -24,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{a^2}-7a + 12 \ge 0,}\\{a \ne 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left[ {\dfrac{{12}}{7};\infty } \right),\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{a \in \left( {-\infty ;3} \right] \cup \left[ {4;\infty } \right),}\\{a \ne 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a \in \left[ {\dfrac{{12}}{7};2} \right) \cup \left( {2;3} \right] \cup \left[ {4;\infty } \right).\) Следовательно, \(D \ge 0\) при \(a \in \left[ {\dfrac{{12}}{7};2} \right) \cup \left( {2;3} \right] \cup \left[ {4;\infty } \right).\) Воспользуемся теоремой Виета: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t_1} \cdot {t_2} = \dfrac{{\left| {a-12} \right|}}{{\left| {a-2} \right|}},}\\{{t_1} + {t_2} = \dfrac{{2a}}{{\left| {a-2} \right|}}.}\end{array}} \right.\) Заметим, что при \(a \in \left[ {\dfrac{{12}}{7};2} \right) \cup \left( {2;3} \right] \cup \left[ {4;12} \right) \cup \left( {12;\infty } \right)\) сумма и произведение корней уравнения \(\left| {a-2} \right| \cdot {t^2}-2at + \left| {a-12} \right| = 0\) положительна, и оно будет иметь один положительный корень, если \(D = 0\) или два положительных корня, если \(D > 0\). Тогда исходное уравнение будет иметь хотя бы два различных корня, значит полученные выше значения a подходят. Если \(a = 12,\) то корни уравнения \(\left| {a-2} \right| \cdot {t^2}-2at + \left| {a-12} \right| = 0:\) \({t_1} = 0;\;\;\;\;{t_2} = 2,4\) и исходное уравнение имеет три различных корня \(\left( {x = 0;\;\;\;\;x = \pm \sqrt {2,4} } \right),\) то есть \(a = 12\) подходит. Таким образом, исходное уравнение будет иметь будет иметь хотя бы два различных корня при \(a \in \left[ {\dfrac{{12}}{7};\,3} \right] \cup \left[ {\,4;\,\infty } \right).\) Ответ: \(\left[ {\dfrac{{12}}{7};\,3} \right] \cup \left[ {\,4;\,\infty } \right).\)