6В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \(\frac{{4a}}{{a-6}} \cdot {3^{\left| {\,x\,} \right|}} = {9^{\left| {\,x\,} \right|}} + \frac{{3a + 4}}{{a-6}}\) имеет два различных корня.
Пусть \({3^{\left| x \right|}} = t,\;\;\;\;t \ge 1.\) Тогда уравнение примет вид: \(\frac{{4a}}{{a-6}}t = {t^2} + \frac{{3a + 4}}{{a-6}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,{t^2}-\frac{{4a}}{{a-6}}t + \frac{{3a + 4}}{{a-6}} = 0.\) Если \(t = 1,\) то уравнение \({3^{\left| x \right|}} = t\) будет иметь один корень \(x = 0.\) Если \(t > 1,\) то уравнение \({3^{\left| x \right|}} = t\) будет иметь два различных корня. Поэтому исходное уравнение будет иметь два различных корня, если уравнение \({t^2}-\frac{{4a}}{{a-6}}t + \frac{{3a + 4}}{{a-6}} = 0\) будет иметь ровно один корень больше единицы, что возможно в следующих случаях. Рассмотрим первый случай: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{D = 0,}\\{t > 1.\;\,\,}\end{array}} \right.\) \(D = \frac{{16{a^2}}}{{{{\left( {a-6} \right)}^2}}}-\frac{{12a + 16}}{{a-6}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{a^2} + 14a + 24 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = -2,\;\;}\\{a = -12.}\end{array}} \right.\) Если \(a = -2,\) то \(4{t^2}-4t + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,{\left( {2t-1} \right)^2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,t = \frac{1}{2} < 1,\) значит \(a = -2\) не подходит. Если \(a = -12,\) то \({t^2}-\frac{8}{3}t + \frac{{16}}{9} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,{\left( {t-\frac{4}{3}} \right)^2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,t = \frac{4}{3} > 1,\) значит \(a = -12\) подходит. Введём функцию \(f\left( t \right) = {t^2}-\frac{{4a}}{{a-6}}t + \frac{{3a + 4}}{{a-6}},\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх (см. рис.). Для того, чтобы у уравнения \({t^2}-\frac{{4a}}{{a-6}}t + \frac{{3a + 4}}{{a-6}} = 0\) один из корней был меньше 1, а второй больше 1, достаточно выполнения условия: \(f\left( 1 \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;1-\frac{{4a}}{{a-6}} + \frac{{3a + 4}}{{a-6}} < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\frac{2}{{a-6}} > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a \in \left( {6;\infty } \right).\) Таким образом, при \(a \in \left\{ {-12} \right\} \cup \left( {6;\,\infty } \right)\) исходное уравнение будет иметь два различных корня. Ответ: \(\left\{ {-12} \right\} \cup \left( {6;\,\infty } \right).\)
Рассмотрим второй случай: \({t_1} < 1,\,\,\,\,{t_2} > 1.\)