7В. Найдите все значения параметра a, при которых неравенство \(3 \cdot {4^x}-6a \cdot {2^x} + 3{a^2} + 2a-14 < 0\) не имеет решений.
Пусть \({2^x} = t,\;\;\;\;t > 0.\) Тогда неравенство примет вид: \(3{t^2}-6at + 3{a^2} + 2a-14 < 0.\) Исходное неравенство не имеет решений, если неравенство \(3{t^2}-6at + 3{a^2} + 2a-14 < 0\) не имеет решений (первый случай), либо его решение находится в промежутке \(\,\left( {-\infty ;0} \right]\) (второй случай). Рассмотрим первый случай: \(D \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,D = 36{a^2}-36{a^2}-24a + 168 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,-24a + 168 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a \ge 7.\) Введём функцию \(f\left( t \right) = 3{t^2}-6at + 3{a^2} + 2a-14,\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх (см. рис.). \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{D > 0,\;\;\;\,}\\{{t_{\rm{B}}} < 0,\;\;\;\,}\\{f\left( 0 \right) \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-24a + 168 > 0,\;\;}\\{\frac{{6a}}{6} < 0,\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{3{a^2} + 2a-14 \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a < 7,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;}\\{a < 0,\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;\;\;\;\;}\end{array}}\\{a \in \left( {-\infty ;\frac{{-1-\sqrt {43} }}{3}} \right] \cup \left[ {\frac{{-1 + \sqrt {43} }}{3};\infty } \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {-\infty ;\frac{{-1-\sqrt {43} }}{3}} \right].\) Таким образом, при \(a \in \left( {-\infty ;\,\frac{{-1-\sqrt {43} }}{3}} \right] \cup \left[ {\,7;\,\infty } \right)\) неравенство не имеет решений. Ответ: \(\left( {-\infty ;\,\frac{{-1-\sqrt {43} }}{3}} \right] \cup \left[ {\,7;\,\infty } \right).\)
Рассмотрим второй случай: