Пусть \({2^x} = t,\;\;\;\;t > 0.\) Тогда неравенство примет вид:
\(3{t^2}-6at + 3{a^2} + 2a-14 < 0.\)
Исходное неравенство не имеет решений, если неравенство \(3{t^2}-6at + 3{a^2} + 2a-14 < 0\) не имеет решений (первый случай), либо его решение находится в промежутке \(\,\left( {-\infty ;0} \right]\) (второй случай).
Рассмотрим первый случай:
\(D \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,D = 36{a^2}-36{a^2}-24a + 168 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,-24a + 168 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a \ge 7.\)
Рассмотрим второй случай:
Введём функцию \(f\left( t \right) = 3{t^2}-6at + 3{a^2} + 2a-14,\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх (см. рис.).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{D > 0,\;\;\;\,}\\{{t_{\rm{B}}} < 0,\;\;\;\,}\\{f\left( 0 \right) \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-24a + 168 > 0,\;\;}\\{\dfrac{{6a}}{6} < 0,\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{3{a^2} + 2a-14 \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a < 7,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;}\\{a < 0,\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;\;\;\;\;}\end{array}}\\{a \in \left( {-\infty ;\dfrac{{-1-\sqrt {43} }}{3}} \right] \cup \left[ {\dfrac{{-1 + \sqrt {43} }}{3};\infty } \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {-\infty ;\dfrac{{-1-\sqrt {43} }}{3}} \right].\)
Таким образом, при \(a \in \left( {-\infty ;\,\dfrac{{-1-\sqrt {43} }}{3}} \right] \cup \left[ {\,7;\,\infty } \right)\) неравенство не имеет решений.
Ответ: \(\left( {-\infty ;\,\dfrac{{-1-\sqrt {43} }}{3}} \right] \cup \left[ {\,7;\,\infty } \right).\)