8В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство \({9^x}-2a \cdot {3^x} + {a^2} + a-5 < 0\) не имеет решений.
Пусть \({3^x} = t,\;\;\;\;t > 0.\) Тогда неравенство примет вид: \({t^2}-2at + {a^2} + a-5 < 0.\) Исходное неравенство не имеет решений, если неравенство \({t^2}-2at + {a^2} + a-5 < 0\) не имеет решений (первый случай), либо его решение находится в промежутке \(\,\left( {-\infty ;0} \right]\) (второй случай). Рассмотрим первый случай: \(D \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,D = 4{a^2}-4{a^2}-4a + 20 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,-4a + 20 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a \ge 5.\) Введём функцию \(f\left( t \right) = {t^2}-2at + {a^2} + a-5,\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх (см. рис.). \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{D > 0,\;\;\;\,}\\{{t_{\rm{B}}} < 0,\;\;\;\,}\\{f\left( 0 \right) \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-4a + 20 > 0,}\\{\frac{{2a}}{2} < 0,\;\;\;\,\;\;\;\;\;}\\{{a^2} + a-5 \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a < 5,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;}\\{a < 0,\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;\;\;\;\;}\end{array}}\\{a \in \left( {-\infty ;\frac{{-1-\sqrt {21} }}{2}} \right] \cup \left[ {\frac{{-1 + \sqrt {21} }}{2};\infty } \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {-\infty ;\frac{{-1-\sqrt {21} }}{2}} \right].\) Таким образом, при \(a \in \left( {-\infty ;\,\frac{{-1-\sqrt {21} }}{2}} \right] \cup \left[ {\,5;\,\infty } \right)\) уравнение не имеет решений. Ответ: \(\left( {-\infty ;\,\frac{{-1-\sqrt {21} }}{2}} \right] \cup \left[ {\,5;\,\infty } \right).\)
Рассмотрим второй случай.