9В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \({\sin ^2}x + a\,\sin x = {a^2}-1\) имеет решения.
Пусть \(\sin x = t,\;\;\;\;t \in \left[ {-1;1} \right].\) Тогда уравнение примет вид: \({t^2} + at = {a^2}-1\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,{t^2} + at-{a^2} + 1 = 0.\) Введём функцию \(f\left( t \right) = {t^2} + at-{a^2} + 1,\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх. Рассмотрим первый случай (см. рис. 1): \(-1 \le {t_1} \le {t_2} \le 1.\) Для этого необходимо выполнение условий: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{D \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;}\\{-1 \le {t_{\rm{B}}} \le 1,}\\{f\left( 1 \right) \ge 0,\;\;\;}\\{f\left( {-1} \right) \ge 0\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{D = 5{a^2}-4 \ge 0,\;}\\{-1 \le -\frac{a}{2} \le 1,\;\;\;\;\;\;\,}\\{1 + a-{a^2} + 1 \ge 0,}\\{1-a-{a^2} + 1 \ge 0\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {\sqrt 5 a-2} \right)\left( {\sqrt 5 a + 2} \right) \ge 0,}\\{-2 \le a \le 2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{{a^2}-a-2 \le 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{a^2} + a-2 \le 0\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {-\infty ;-\frac{2}{{\sqrt 5 }}} \right] \cup \left[ {\frac{2}{{\sqrt 5 }};\infty } \right),}\\{a \in \left[ {-2;2} \right],\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{a \in \left[ {-1;2} \right],\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{a \in \left[ {-2;1} \right]\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,a \in \left[ {-1;-\frac{2}{{\sqrt 5 }}} \right] \cup \left[ {\frac{2}{{\sqrt 5 }};1} \right].\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( {-1} \right) \le 0,}\\{f\left( 1 \right) \ge 0.\;\;}\end{array}} \right.\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( {-1} \right) \ge 0,}\\{f\left( 1 \right) \le 0.\;\;}\end{array}} \right.\) Объединим второй и третий случаи: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( {-1} \right) \le 0,}\\{f\left( 1 \right) \ge 0\;\;\;}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( {-1} \right) \ge 0,}\\{f\left( 1 \right) \le 0\;\;\;}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,f\left( {-1} \right) \cdot f\left( 1 \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,\left( {-{a^2} + a + 2} \right)\left( {-{a^2}-a + 2} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\,a \in \left[ {-2;-1} \right] \cup \left[ {1;2} \right].\) Таким образом, при \(a \in \left[ {-2;\,-\frac{2}{{\sqrt 5 }}} \right] \cup \left[ {\frac{2}{{\sqrt 5 }};\,2} \right]\) исходное уравнение будет иметь решения. Ответ: \(\left[ {-2;\,-\frac{2}{{\sqrt 5 }}} \right] \cup \left[ {\frac{2}{{\sqrt 5 }};\,2} \right].\)
Исходное уравнение будет иметь решение, если уравнение \({t^2} + at-{a^2} + 1 = 0\) имеет хотя бы одно решение \(t \in \left[ {\,-1;\,1} \right],\) что возможно в следующих случаях.
Рассмотрим второй случай (см. рис. 2): \({t_1} \le -1,\,\,\,-1 \le {t_2} \le 1.\) Для этого необходимо выполнение условий:
Рассмотрим третий случай (см. рис. 3): \(-1 \le {t_1} \le 1,\,\,\,{t_2} \ge 1.\) Для этого необходимо выполнение условий: