Задача 11. В треугольнике ABC угол C равен \({90^ \circ }\), \(AC = 4\), \(tgA = \frac{{33}}{{4\sqrt {33} }}\). Найдите АB.

Ответ

ОТВЕТ: 7.

Решение

Воспользуемся тем, что:

\(1 + {\rm{t}}{{\rm{g}}^2}A = \frac{1}{{{{\cos }^2}A}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,1 + \frac{{{{33}^2}}}{{16 \cdot 33}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}A}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,1 + \frac{{33}}{{16}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}A}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{49}}{{16}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}A}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\cos A = \frac{4}{7}\).

По определению косинуса из треугольника ABC:

\(\cos A = \frac{{AC}}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\frac{4}{7} = \frac{4}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,AB = 7\).

Ответ:  7.