ЕГЭ профильный уровень. №1 Прямоугольный треугольник. Задача 14

Задача 14. В треугольнике ABC угол C равен \({90^ \circ }\), \(BC = 0,5\), \(\sin A = \dfrac{{\sqrt {17} }}{{17}}\). Найдите AC.

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Решение

По основному тригонометрическому тождеству:

\({\sin ^2}A + {\cos ^2}A = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\cos A = \sqrt {1 — \dfrac{1}{{17}}} = \dfrac{4}{{\sqrt {17} }}\).

Тогда: \({\rm{tg}}\,A = \dfrac{{\sin A}}{{\cos A}} = \dfrac{{\sqrt {17} }}{{17}}:\dfrac{4}{{\sqrt {17} }} = \dfrac{{\sqrt {17} }}{{17}} \cdot \dfrac{{\sqrt {17} }}{4} = \dfrac{1}{4}\).

По определению тангенса:

\({\rm{tg}}\,A = \dfrac{{BC}}{{AC}}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{1}{4} = \dfrac{{0,5}}{{AC}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,AC = 2\).

Ответ: 2.