Задача 17. В треугольнике ABC угол C равен \({90^ \circ }\), \(BC = 4\), \({\text{tg}}\,A = \frac{{4\sqrt {33} }}{{33}}\). Найдите AB.

Ответ

ОТВЕТ: 7.

Решение

Воспользуемся тем, что:

\(1 + {\rm{t}}{{\rm{g}}^2}A = \frac{1}{{{{\cos }^2}A}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,1 + \frac{{16 \cdot 33}}{{{{33}^2}}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}A}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,1 + \frac{{16}}{{33}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}A}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{49}}{{33}} = \,\frac{1}{{{{\cos }^2}A}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\cos A = \frac{{\sqrt {33} }}{7}\).

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

\({\sin ^2}A + {\cos ^2}A = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\sin A = \sqrt {1 — \frac{{33}}{{49}}}  = \frac{4}{7}\).

По определению синуса из треугольника ABC:

\(\sin A = \frac{{BC}}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\frac{4}{7} = \frac{4}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,AB = 7\).

Ответ:  7.