По определению синуса из треугольника АВС:
\(\sin A = \frac{{BC}}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\frac{2}{3} = \frac{{BC}}{{27}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,BC = 18\).
\(\sin A = \frac{{BC}}{{AB}};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\cos B = \frac{{BC}}{{AB}}\).
Следовательно, \(\cos B = \sin A = \frac{2}{3}\).
По определению косинуса из треугольника ВНС:
\(\cos B = \frac{{BH}}{{BC}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\frac{2}{3} = \frac{{BH}}{{18}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,BH = 12\).
Тогда: \(AH = AB — BH = 27 — 12 = 15\).
Ответ: 15.