Задача 28. В треугольнике ABC угол C равен \({90^ \circ }\), CH — высота, \(AB = 27,\;\;\sin A = \frac{2}{3}.\) Найдите AH.

Ответ

ОТВЕТ: 15.

Решение

По определению синуса из треугольника АВС:

\(\sin A = \frac{{BC}}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\frac{2}{3} = \frac{{BC}}{{27}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,BC = 18\).

\(\sin A = \frac{{BC}}{{AB}};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\cos B = \frac{{BC}}{{AB}}\).

Следовательно, \(\cos B = \sin A = \frac{2}{3}\).

По определению косинуса из треугольника ВНС:

\(\cos B = \frac{{BH}}{{BC}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\frac{2}{3} = \frac{{BH}}{{18}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,BH = 12\).

Тогда:  \(AH = AB — BH = 27 — 12 = 15\).

Ответ:  15.