ЕГЭ профильный уровень. №1 Прямоугольный треугольник. Задача 32

Задача 32. В треугольнике ABC угол C равен \({90^ \circ }\), CH — высота, \(AB = 27,\;\;\cos A = \dfrac{2}{3}.\) Найдите BH.

Ответ

ОТВЕТ: 15.

Решение

По определению косинуса из треугольника АВС:

\(\cos A = \dfrac{{AC}}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{2}{3} = \dfrac{{AC}}{{27}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,AC = 18\).

По определению косинуса из треугольника АНС:

\(\cos A = \dfrac{{AH}}{{AC}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{2}{3} = \dfrac{{AH}}{{18}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,AH = 12\).

Тогда: \(BH = AB — AH = 27 — 12 = 15\).

Ответ: 15.