Задача 35. В треугольнике ABC угол C равен \({90^ \circ }\), CH — высота, \(AB = 13,\;\;{\text{tg}}\,A = 5\). Найдите BH.

Ответ

ОТВЕТ: 12,5.

Решение

Воспользуемся тем, что:

\(1 + {\rm{t}}{{\rm{g}}^2}A = \frac{1}{{{{\cos }^2}A}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,1 + {5^2} = \frac{1}{{{{\cos }^2}A}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\cos A = \frac{1}{{\sqrt {26} }}\).

По определению косинуса из треугольника АВС:

\(\cos A = \frac{{AC}}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{{\sqrt {26} }} = \frac{{AC}}{{13}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,AC = \frac{{13}}{{\sqrt {26} }}\).

По определению косинуса из треугольника AНС:

\(\cos A = \frac{{AH}}{{AC}}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{{\sqrt {26} }} = AH:\frac{{13}}{{\sqrt {26} }}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,AH = \frac{1}{{\sqrt {26} }} \cdot \frac{{13}}{{\sqrt {26} }} = 0,5\).

Тогда:  \(BH = AB — AH = 13 — 0,5 = 12,5\).

Ответ:  12,5.