ЕГЭ профильный уровень. №1 Прямоугольный треугольник. Задача 39

Задача 39. В треугольнике ABC угол C равен \({90^ \circ }\), \(BC = 5,\;\;\sin \,A = \dfrac{7}{{25}}.\) Найдите высоту CH.

Ответ

ОТВЕТ: 4,8.

Решение

По определению синуса и косинуса из треугольника АВС:

\(\sin A = \dfrac{{BC}}{{AB}};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\cos B = \dfrac{{BC}}{{AB}}\).

Следовательно, \(\cos B = \sin A = \dfrac{7}{{25}}\).

По определению косинуса из треугольника ВНС:

\(\cos B = \dfrac{{BH}}{{BC}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{7}{{25}} = \dfrac{{BH}}{5}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,BH = \dfrac{7}{5}\).

По теореме Пифагора из треугольника BНС:

\(B{C^2} = B{H^2} + C{H^2}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,C{H^2} = {5^2} — {\left( {\frac{7}{5}} \right)^2}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,CH = 4,8\).

Ответ: 4,8.