Задача 40. В треугольнике ABC угол C равен \({90^ \circ }\), CH — высота,      \(BC = 3,\;\;\cos \,A = \frac{{\sqrt {35} }}{6}.\) Найдите AH.

Ответ

ОТВЕТ: 17,5.

Решение

По основному тригонометрическому тождеству:

\({\sin ^2}A + {\cos ^2}A = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{\sin ^2}A = 1 — {\left( {\frac{{\sqrt {35} }}{6}} \right)^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\sin A = \frac{1}{6}\).

По определению синуса из треугольника АВС:

\(\sin A = \frac{{BC}}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{6} = \frac{3}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,AB = 18.\)

По определению синуса и косинуса из треугольника АВС:

\(\sin A = \frac{{BC}}{{AB}};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\cos B = \frac{{BC}}{{AB}}\).

Следовательно, \(\cos B = \sin A = \frac{1}{6}\).

По определению косинуса из треугольника ВНС:

\(\cos B = \frac{{BH}}{{BC}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{6} = \frac{{BH}}{3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,BH = 0,5\).

Тогда:  \(AH = AB — BH = 18 — 0,5 = 17,5\).

Ответ:  17,5.