По основному тригонометрическому тождеству:
\({\sin ^2}A + {\cos ^2}A = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{\sin ^2}A = 1 — {\left( {\frac{{\sqrt {35} }}{6}} \right)^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\sin A = \frac{1}{6}\).
По определению синуса из треугольника АВС:
\(\sin A = \frac{{BC}}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{6} = \frac{3}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,AB = 18.\)
По определению синуса и косинуса из треугольника АВС:
\(\sin A = \frac{{BC}}{{AB}};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\cos B = \frac{{BC}}{{AB}}\).
Следовательно, \(\cos B = \sin A = \frac{1}{6}\).
По определению косинуса из треугольника ВНС:
\(\cos B = \frac{{BH}}{{BC}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{6} = \frac{{BH}}{3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,BH = 0,5\).
Тогда: \(AH = AB — BH = 18 — 0,5 = 17,5\).
Ответ: 17,5.