Задача 43. В треугольнике ABC угол C равен \({90^ \circ }\), CH — высота, \(BC = 7,\;{\text{tg}}\,A = \frac{{4\sqrt {33} }}{{33}}.\) Найдите BH.
ОТВЕТ: 4.
Воспользуемся тем, что: \(1 + {\rm{t}}{{\rm{g}}^2}A = \frac{1}{{{{\cos }^2}A}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,1 + \frac{{16 \cdot 33}}{{{{33}^2}}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}A}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,1 + \frac{{16}}{{33}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}A}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{49}}{{33}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}A}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\cos A = \frac{{\sqrt {33} }}{7}\). По определению синуса и косинуса из треугольника АВС: \(\cos A = \frac{{AC}}{{AB}};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sin B = \frac{{AC}}{{AB}}\). Следовательно, \(\sin B = \cos A = \frac{{\sqrt {33} }}{7}\). По определению синуса из треугольника ВCH: \(\sin B = \frac{{CH}}{{CB}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{\sqrt {33} }}{7} = \frac{{CH}}{7}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,CH = \sqrt {33} \). По теореме Пифагора из треугольника BCH: \(B{C^2} = B{H^2} + C{H^2}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,B{H^2} = {7^2} — {\left( {\sqrt {33} } \right)^2}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,BH = 4\). Ответ: 4.