Задача 43. В треугольнике ABC угол C равен \({90^ \circ }\), CH — высота, \(BC = 7,\;{\text{tg}}\,A = \frac{{4\sqrt {33} }}{{33}}.\) Найдите BH.

Ответ

ОТВЕТ: 4.

Решение

Воспользуемся тем, что:

\(1 + {\rm{t}}{{\rm{g}}^2}A = \frac{1}{{{{\cos }^2}A}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,1 + \frac{{16 \cdot 33}}{{{{33}^2}}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}A}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,1 + \frac{{16}}{{33}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}A}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{49}}{{33}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}A}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\cos A = \frac{{\sqrt {33} }}{7}\).

По определению синуса и косинуса из треугольника АВС:

\(\cos A = \frac{{AC}}{{AB}};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sin B = \frac{{AC}}{{AB}}\).

Следовательно, \(\sin B = \cos A = \frac{{\sqrt {33} }}{7}\).

По определению синуса из треугольника ВCH:

\(\sin B = \frac{{CH}}{{CB}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{\sqrt {33} }}{7} = \frac{{CH}}{7}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,CH = \sqrt {33} \).

По теореме Пифагора из треугольника BCH:

\(B{C^2} = B{H^2} + C{H^2}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,B{H^2} = {7^2} — {\left( {\sqrt {33} } \right)^2}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,BH = 4\).

Ответ:  4.